1、1函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为： ，()()0,1()0fxfxff(-
2、x)=-f(x)的等价形式为： ；()()()ff fx，（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0；（5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 轴对称，y y则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点
3、对称，则该函数既()fx不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数 的定义域，化简函数 的解析式；()f ()fx（3）求 ，可根据 与 之间的关系，判断函数 的奇偶性.x()fx()fx若 =- ，则 是奇函数；()f(f若 = ，则 是偶函数；xf)x若 ，则 既不是奇函数，也不是偶函数；()f(f若 且 =- ，则 既是奇函数，又是偶函数xf)x()fx2要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等.()fx()f（2）验证法：
4、在判断 与 的关系时，只需验证 =0及 是否成立()fxf fx()f()1fx即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称.y（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 的不同取值范围，有x着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的()fx
5、(f x范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函)f数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间a,b()fx上是增函数（减函数） ，则 在区间-b，-a上也是增函数（减函数） ；偶函数在其对称区间a,b和()fx-b，-a上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数） ，则 在()fx ()fx区间-b，-a上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例 1. 判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2)f(x)=x 2-4|
6、x|+3 ；1-()xfx(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) ； 21-()|xf(5) ； (6)2-(0)()xf()()-()2fgR【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】 （1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】(1)f(x)的定义域为 ，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；-1,3(2)对任意 xR，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x
7、)为奇函数；(4) 2-1x1-x0 x-1,0,0-4+且22-()fxx，f(x)为奇函数；221-(1-( ()f fx(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(6) ，f(x)为奇函数.(-)(-)(-)-()22fxggfx【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉 的绝对值符号时就十|2|x分麻烦.
8、举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2) ； (3) ；23()xf()|1|fxx2()1xf(4) .210f()0()x【答案】 （1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数【解析】(1) 的定义域是 ，()fR又 ， 是奇函数223( ()xf fx()f（2） 的定义域是 ，f又 ， 是偶函数()|1|1|()xxxf()fx（3） 22()f， 为非奇非偶函数()()xfxf且 ()fx（4）任取 x0则-x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)4x=0时，f(0)=-f(0) xR
9、时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性 356732例 2（1） 】【变式 2】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性 356732例 2（2） 】【变式 3】设函数 和 g(x
10、)分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论(fx恒成立的是 （ ）.A +|g(x)|是偶函数 B -|g(x)|是奇函数()fx()fxC| | +g(x)是偶函数 D| |- g(x)是奇函数【答案】A例 2.已知函数 ，若对于任意实数 都有 ，判断 的奇偶性.(),fxR,ab()()ffab()fx【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数 ，都有 ，可以令 为某些特殊值，得出,ab()()ff,.()(fxf设 则 ， .0,a)(0)bf(0)f又设 ，则 ，xx， 是奇函数.()(ff()f【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断 与()fx之间
11、的关系，因此需要先求出 的值才行.()fx(0)f举一反三：【变式 1】 已知函数 ，若对于任意实数 ，都有(),fxR12,x，判断函数 的奇偶性.121212()()()fxfxfx()f【答案】偶函数【解析】令 得 ，令 得120,()(0)fxfx210,x()()fxfx5由上两式得： ，即()()fxfx()fxf是偶函数.()f类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数， 在 上的最大值为 5，则 在()()2Hxafbgx0,()Hx（- ）上的最小值为 ,2【答案】 -1【解析】考虑到 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻
12、求 与 的关系(),fxg ()x)+ =()Hx()2()()2abafxbg，),ffx(4当 时， ，0x()()Hxx而 ， ，51在 上的最小值为-1()x,)【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现 也是()afxbg奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题过程如下： 时， 的最大值为 5，0xH时 的最大值为 3， 时 的最小值为-3， 时， 的0x()afbgx0x()afbg0x()x最小值为-3+2=-1举一反三：【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(
13、-2) 5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 g(x)=f(x)+8易证 g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出 f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题 便能迎刃而解.(2)g例 4. 已知 是定义在 R上的奇函数，当 时， ，求 的解析式fx0x2()1f()fx6【答案】2231,0()
14、0,.xfx【解析】 是定义在 R上的奇函数，()fx， 当 时， ，f0x2()()31xf= 231又奇函数 在原点有定义， ()fx(0)f22,()0,31,0.fx【总结升华】若奇函数 在 处有意义，则必有 ，即它的图象必过原点（0，0） ()fx()f举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例 3】【变式 1】（1）已知偶函数 的定义域是 R，当 时 ，()fx2()31fx求 的解析式.()fx（2）已知奇函数 的定义域是 R，当 时 ，()g02()g求 的解析式.()【答案】（1） ；（2）231(0)()xf221(0)()0xgx （ ）例 5. 定义域在区间2
15、，2上的偶函数 ，当 x0 时， 是单调递减的，若()()g成立，求 m 的取值范围(1)(gm【思路点拨】根据定义域知 1m ，m 1，2 ，但是 1m，m 在2，0，0，2 的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数 的性质： ，可避免()fx()(|)fxfx讨论【答案】 1,)27【解析】由于 为偶函数，所以 ， 因为 x0 时， 是单调递减()gx(1)(1)gm(|)gm()gx的，故 ，所以 ，解得|(1)(|)(|)2|m221m2故 m 的取值范围是 1,)2【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将 1m，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同
16、导致 1m 与 m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例 6. 已知 是偶函数，且在0，+ ）上是减函数，求函数 的单调递增区间()yfx 2(1)fx【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减” 。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函数，且在0，+ ）上是减函数， 在（，0 上是增函数()fx ()fx设 u=1x 2，则函数 是函数 与函数 u=1x 2的复合函数21)()fu当 0x1 时，u 是减函数，且 u0，而 u0 时， 是减函数，根据复合函数的性质
17、，可得()f是增函数2()f当 x1 时，u 是增函数，且 u0，而 u0 时， 是增函数，根据复合函数的性质，可得()f是增函数2()f同理可得当1x0 或 x1 时， 是减函数2()fx所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】 （1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例） ，此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定 x 的取值范围时，必须考虑相应的 u的取值范围本例中，x1 时，u 仍是减函数，但此时 u0，
18、不属于 的减区间，所以不能取()fux1，这是应当特别注意的例 7. 设 a为实数，函数 f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x)的奇偶性，并求 f(x)的最小值.【思路点拨】对 a进行讨论，把绝对值去掉，然后把 f(x)转化成二次函数求最值问题。8【答案】当 a=0时，函数为偶函数；当 a0 时，函数为非奇非偶函数.当 .min min1313-()|-;()|;2424afxafxa时 ， 时 ， 2min1-()|12fxa时 ，【解析】当 a=0时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当 时
19、，x()-fx 1 13(-),2 24aafa时 ， 函 数 在 ， 上 的 最 小 值 为且 f(-). 上单调递增，(),fx时 ， 函 数 在上的最小值为 f(a)=a2+1.(),fxa在(2)当 时，2213()-()4fxaxa 上单调递减，1,2时 ， 函 数 在上的最小值为()-fxa在 ， 2()1f 上的最小值为()-af时 ， 在 ， 31()().42faffa， 且综上： min min13-|-;|;242xax时 ， 时 ，.2i-()|1f时 ，举一反三：【变式 1】 判断 的奇偶性()|()fxaxR【答案】当 时，函数 既是奇函数，又是偶函数；当 时，函数
20、 是奇函数0a()f 0a()fx【解析】对 进行分类讨论若 ，则 ()|0fx， 定义域 关于原点对称， 函数 既是奇函数，又是偶函数xR()fx当 时， ， 是奇函数0a()|()fxaafx()f综上，当 时，函数 既是奇函数，又是偶函数；(f当 时，函数 是奇函数)x例 8. 对于函数 ，若存在 x0R ，使 成立，则称点（x 0，x 0）为函数 的不动(f 0()f()fx9点（1）已知函数 有不动点（1，1） ， （3，3） ，求 a，b 的值；2()(0fxabx（2）若对于任意的实数 b，函数 总有两个相异的不动点，求实数 a 的2)(0fabx取值范围；（3）若定义在实数集
21、R上的奇函数 存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数()g【答案】 （1）a=1，b=3；（2） （0，1） ；（3）略【解析】 （1）由已知得 x=1 和 x=3 是方程 ax2+bxb=x 的根，由违达定理 a=1，b=33ba（2）由已知得：ax 2+bxb=x（a0）有两个不相等的实数根， 1=(b1) 2+4ab0 对于任意的实数 b 恒成立即 b2+(4a2)b+1 0 对于任意的实数 b 恒成立也就是函数 的图象与横轴无交点()(4)1fb又二次函数 的图象是开口向上的抛物线，从而 2=(4a 2)240，即 |4a2|2，0a1满足题意的实数 a 的取值范围为（0，1）
22、（3） 是 R 上的奇函数， .()gx()(gx令 x=0，得 ， （0，0）是 的一个不动点()()gx设（x 0，x 0） （x 00）是 的一个不动点，则 x0又 ，（x 0，x 0）也是 的一个不动点0()()g ()x又x 0x 0， 的非零不动点是成对出现的g又（0，0）也是 的一个不动点，若 存在 n 个不动点，则 n 必为奇数()x()gx【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质是关于 x 的方程 的解的问题本例（3）的解决主要是结合()f奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论10【巩固练习】1 函
23、数 是( )1()0fxA奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数2若函数 是偶函数，则有 ( )2yxbcA. B. C. D. ,bRc,0R,0bc,bcR3设函数 ，且 则 等于（ ）3()21fxax()3f(1)fA.-3 B.3 C.-5 D. 54若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是( )(f,A B2123ff)2(3(1fffC D)3()( 1)25如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为 ，那么 在区间 上是( )xf,75)(xf3,7A增函数且最小值是 B增函数且最大值是5C减函数且最大值是 D减函数且最小值是6设 是定义在 上的一个函数，则函数 ，在 上一定是( )(xfR)()(xfxFRA奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.7设函数 的图象关于 轴对称，且 ，则 .()fxy()fab()fa8如果函数 为奇函数，那么 = .2a9设函数 是定义在 R上的奇函数，且 ， 在 上单调递减，在 上单调()fx(2)0f()fx,11,递减，则不等式 的解集为 010若函数 是偶函数，则 的递减区间是_.2()(1)3fxkx)(xf11函数 在 R上为奇函数，且 ，则当 ， _.0,1f )(xf
