1、- 1 -D CBAEDFCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”(垂直平分线、角平分线、中线)的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法
2、与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF的大小.- 2 -例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC
3、的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA应用：1、 （09崇文二模）以 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰RtABCABD， 连接DE ， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究：AM与DEACE90,DE的位置关系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE.ED CBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，D
4、EAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab EDGFCBA- 6 -NMEFACBAFEDCBA应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论
5、是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图- 7 -例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，ABCBDC012BDC以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M
6、，交 AC 于点 N，连接 MN，则06的周长为 ；MN B CDNMA应用：1、已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABAB120， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）60MN DC，于 EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 EFEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成B AC立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出，你的猜想，不需证明（图 1）CDEFMN（图 2）BCDEFMN（图 3）ABCDEFMN- 8 -2、 （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,
7、使 P、D 两点落在2直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB及 PD的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且ABC ABC, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx
