1、- 1 -D CBAEDFCBA专题十四：全等中辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取
2、一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.- 2 -例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.E
3、D CBA应用：1、以 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ，ABCABDCE连接DE ， M、 N分别是BC 、 DE的中点探究：AM 与DE的位置关90,DE系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时， AM与DE 的位置关系是 ，线段AM与DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE.ED CBA- 5 -OED CBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC
4、 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第 23
5、题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图- 6 -NMEFACBAFEDCBA五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，ABCBDC012BDC以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则
6、06的周长为 ；MN B CDNMA- 7 -应用：1、已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABCDABC120， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）60MN ，于 EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 EFEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成B AC立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出，你的猜想，不需证明2、 （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,使 C、D 两点落在2直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB及 PD的长;(2)当APB
7、 变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应APB 的大小.（图 1）CDEFMN（图 2）BCDEFMN（图 3）ABCDEFMN- 8 -3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且ABC ABC, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx
