1、1亚克力平板的受力凹陷及解决方法亚克力平板的受力凹陷及解决方法一、受力分析概况一、受力分析概况1、平板的几何特征及平板分类、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。t/b1/5 时时 ,为薄板为薄板 ;w/t1/5 时时 ,为小挠度为小挠度 ;按小挠度薄板计算按小挠度薄板计算 (w 为薄板在垂直于中面的变形量为薄板在垂直于中面的变形量 );2、载荷与内力、载荷与内力 载荷：载荷： 平面载荷：作用于板中面内的载荷平面载荷：作用于板中面内的载荷
2、横向载荷：垂直于板中面的载荷横向载荷：垂直于板中面的载荷 复合载荷：包含上述两项载荷的合成复合载荷：包含上述两项载荷的合成 ;内力：内力： 薄膜力薄膜力 中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ; 弯曲内力弯曲内力 弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ; 当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 现仅讨论弹性薄板的小挠度理论。现仅讨论弹性薄板
3、的小挠度理论。3、弹性薄板的小挠度理论基本假设、弹性薄板的小挠度理论基本假设 : 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线线 的挠度的挠度 ;只有横向力载荷。只有横向力载荷。w 变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。上各点间的距离不变。 平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。计。o
4、zyx图(1 )2 研究研究 : 弹性弹性 ,薄板薄板 / 受横向载荷受横向载荷 / 小挠度理论小挠度理论 / 近似双向弯曲问题近似双向弯曲问题二、二、 圆平板对称弯曲微分方程圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型t/2t/2 zr+dd dz Qrdr trQr+PMMrMd P TMMQroo ra.b.c.d.pzMrr dQrddrMr+MrddMrMr+ddrQr+QrdyR 图(2 )分析模型：半径分析模型：半径 R，厚度，厚度 t 的圆平板受轴对称载荷的圆平板受轴对称载荷 Pz，在，在 r、 、 z 圆柱坐标系中，圆柱坐标系中，有内力有内力 Mr、 M 、 Qr 三个内力分量三个
5、内力分量 ;轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在 r、 、 z 圆柱坐标系中，挠度圆柱坐标系中，挠度 只只w是是 r 的函数，而与的函数，而与 无关。无关。微元体：用半径为微元体：用半径为 r 和和 r+dr 的圆柱面和夹角为的圆柱面和夹角为 d 的两个径向截面截取板上一微元的两个径向截面截取板上一微元体。体。图(3 )如下 :t/2t/2 zr+drd dz Qr drtrQr+PMMr Md P TMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryR3微元体内力微元体内力 ：径
6、向：径向： Mr、 Mr+（ dMr/dr） dr周向：周向： M横向剪力：横向剪力： Qr、 Qr+（ dQr/dr） dr微元体外力微元体外力 ：上表面上表面 zPprdt/2t/2 zr+drd dzQr drtrQr+PMMr MdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryR r图(4 )1、平衡方程、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线微体内力与外力对圆柱面切线 T 的力矩代数和为零，即的力矩代数和为零，即 MT=02sin02rr r zMddp （ 2-1）0rr rQ（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）（
7、圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）图(5 )如下:t/2t/2 zr+drd zQrdrtrQr+PMMrMd P TMMQroora.b.c.d.pzMrr dQrdrddrMr+dMrddMrMr+drdrQr+QrdyR42、几何协调方程、几何协调方程 (W)取取 ，径向截面上与中面相距为，径向截面上与中面相距为 z，半径为，半径为 r 与与 两点两点 A 与与 B 构成的微构成的微ABdr d段段图(6 )板变形后：板变形后：微段的径向应变为微段的径向应变为 （第（第 2 假设）假设）rzdzrdr过过 A 点的周向应变为点的周向应变为 （第（第 1 假设）假设）22z作为小挠度作为小挠
8、度 ，带入以上两式，得，带入以上两式，得dwr应变与挠度关系的几何方程：应变与挠度关系的几何方程：（ 2-2）2rzdw3、物理方程、物理方程根据第根据第 3 个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：定律可得圆板物理方程为： 21rrrE（ 2-3）4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程drdr rn1nzABmm1+ddn1ABzz m1mza.b. rww 5(2-2)代入代入 (2-3)式：式：（ 2-4）2221rEzdwr通过圆板截面上弯矩与
9、应力的关系，将弯矩通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和和 表示成表示成 的形式。由式（的形式。由式（ 2-rMw4）可见，）可见， 和和 沿着厚度沿着厚度 (即即 z 方向方向 )均为线性分布，图均为线性分布，图 (7)中所示为径向应力的分布图。中所示为径向应力的分布图。r、 的线性分布力系便组成弯矩的线性分布力系便组成弯矩 、 。单位长度上的径向弯矩为：。单位长度上的径向弯矩为：r rM22221ttrrEdwMzdzd（ 2-5a）2rwDr同理同理 （ 2-5b）21d32Et“抗弯刚度抗弯刚度 ”与圆板的几何尺寸及材料性能有关与圆板的几何尺寸及材料性能有关 ,将将 (2-5)代入
10、代入 (2-4)，得弯矩和，得弯矩和应力的关系式为：应力的关系式为：（ 2-6）312rrMzt(2-5)代入平衡方程代入平衡方程 (2-1)，得：，得： 321rQdwdrD图(7) 圆平板内的应力与内力之间的关系rroot/2l6即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：（ 2-7）1rQdrDQr 值可依不同载荷情况用静力法求得值可依不同载荷情况用静力法求得三、三、 圆平板中的应力圆平板中的应力承受均布载荷时圆平板中的应力：承受均布载荷时圆平板中的应力： 简支简支 ; 固支固支 ;承受集中载荷时圆平板中的应力承受集中载荷时圆平板中的应
11、力一、承受均布载荷时圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力据图据图 (8)，可确定作用在半径为，可确定作用在半径为 r 的圆柱截面上的剪力，即：的圆柱截面上的剪力，即：2rprQ代入代入 2-60 式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为： 12dwprrD对对 r 连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：（ 2-8）3126Crdp对对 r 连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。2413ln6rpwD （ 2-9）C1、 C2、 C3 均为积分常数。均为积分常数
12、。图(8)均布载荷作用时圆板内Q r的确定MO7对于圆平板在板中心处（对于圆平板在板中心处（ r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0 ，于是上述方程改写为：，于是上述方程改写为：（ 2-10）312436CrdwprD式中式中 C1、 C3 由边界条件确定。由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况下面讨论两种典型支承情况 (两种边界条件两种边界条件 ) 周边固支圆平板周边固支圆平板 周边简支圆平板周边简支圆平板周边固支圆平板周边固支圆平板 周边简支圆平板周边简支圆平板图图 (9) 承受均布横向载荷的圆板承受均布横向载荷的圆
13、板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）图图 (10)周边固支圆平板周边固支圆平板,0dwrRr 将上述边界条件代入式（将上述边界条件代入式（ 2-10） ，解得积分常数，解得积分常数 ：2143,86pRCD代入式（代入式（ 2-10）得周边固支平板的斜率和挠度方程：）得周边固支平板的斜率和挠度方程：2164dwprRD （ 2-11） Rpa.b.zrRz Rpa.b.zrrzp 8将挠度将挠度 w 对对 r 的一阶导数和二阶导数代入式（的一阶导数和二阶导数代入式（ 2-5） ，便得固支条件下的周边固支，便得固支条件下的周边固支圆
14、平板弯矩表达式：圆平板弯矩表达式：（ 2-12）22136rpMRr由此（代入由此（代入 2-59）弯曲应力计算试，可得）弯曲应力计算试，可得 r 处上、下板面的应力表达式处上、下板面的应力表达式 (Z=t/2)：（ 2-13）2222623138rrttMpRtr周边固支圆平板下表面的应力分布，如图周边固支圆平板下表面的应力分布，如图 (11)所示。所示。最大应力在板边缘上下表面，即最大应力在板边缘上下表面，即 2max34rpRt2、 周边简支圆平板周边简支圆平板将上述边界条件代入式（将上述边界条件代入式（ 2-10） ，解得积分常数，解得积分常数 C1、 C3：代入式（代入式（ 2-10
15、）得周边简支平板的挠度方程：）得周边简支平板的挠度方程：（ 2-14）2224641RrpwrDa.b.zrRzp 图(12) 周边简支圆平板周边简支圆平板O r + -0.50.6281.00.827 r pRt22(1+ )38 4t23 pR2-32pRt42rR rR0.51.0 r rt823(+ )pR2O pR3(1- )42t2b.a.图(11) 圆板的弯曲应力分布（板下表面）9弯矩表达式：弯矩表达式：（ 2-15）231613rpMRr应力表达式：应力表达式：（ 2-16）223813rpRrt可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均
16、在板中心处 ，0r2maxax316r pRM2axax8r t周边简支板下表面的应力分布曲线见图周边简支板下表面的应力分布曲线见图 (11b)。3、比较两种支承、比较两种支承a. 边界条件边界条件周边固支时周边固支时 : ,0dwrRr 周边简支时周边简支时 : ,0rrM b. 挠度挠度周边固支时，最大挠度在板中心周边固支时，最大挠度在板中心 （ 2-17）4max6fpRwD我们知道：亚克力板的弹性模量我们知道：亚克力板的弹性模量 E=3.06GPa,=0.32,=1.19g/cm3, 当当 R=500mm时：时：(1): t=3mm,D=767.13kg.mm, Wmax(f)=4.5
17、4mm(2): t=4mm,D=1818.38kg.mm,Wmax(f)=2.56mm(3): t=5mm,D=3551.5kg. mm,Wmax(f)=1.64mm周边简支时，最大挠度在板中心周边简支时，最大挠度在板中心 （ 2-18）4max516spRwD =0.32, Wmax(s)/ Wmax(f)=5+ /1+ =4.0310(1): t=3mm,Wmax(s)=4.54x4.03=18.3mm(2): t=4mm,Wmax(s)=2.56x4.03=10.3mm(3): t=5mm,Wmax(s)=1.64x4.03=6.6mm而当而当 R=1000mm 时时 ：(1): t=3
18、mm,Wmax(f)=72.7mm, Wmax(s)=72.7x4.03=293mm;(2): t=4mm,Wmax(f)=40.9mm, Wmax(s)=40.9x4.03=164.8mm;(3): t=5mm,Wmax(f)=26.2mm, Wmax(s)=26.2x4.03=105.6mm;表明表明 : 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度 。尽量采用周边固支板尽量采用周边固支板 。c. 应力应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为（ 2-19）2max34frpRt周
19、边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为（ 2-20）2max38srpt0.简 支固 支 ax.31652srf表明表明 : 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力 。内力引起的切应力：内力引起的切应力：在均布载荷在均布载荷 p 作用下，圆板柱面上的最大剪力作用下，圆板柱面上的最大剪力 （ 处）处） ，max2rpRQr近似采用矩形截面梁中最大切应力公式近似采用矩形截面梁中最大切应力公式 ，ax3bh得到得到 maxmax3214rQRtt最大正应力与最大正应力与 同一量级；同一量级；2最大切应力则与最大切应力则与 同一量级。同一量级。t因而对于薄板因而对于薄板 Rt，板内的正应力远比切应力大。，板内的正应力远比切应力大。从以上可以看出：从以上可以看出： 与与 圆平板的材料（圆平板的材料（ E、 ） 、半径、厚度有关、半径、厚度有关 。maxaw所以所以 ,要解决亚克力平板凹陷的常规方法有要解决亚克力平板凹陷的常规方法有 : 若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。正应力。
