1、1圆心不确定的圆直径的测量赵至滢(南京信息工程大学附属实验小学 六(4) 班)1、问题背景在日常生活中，我们随处可见圆形的东西存在。中秋之夜，一轮皎洁的圆月高高挂在天空，总是给人美好的祝愿，但愿人长久，千里共婵娟，道出了人们衷心祝福的心声。圆，在文学作品中赋予了极为美好的意义：团圆与幸福。在数学上，同三角形、平行四边形等一样，圆也是一种实实在在的几何图形。人们很早的时候就已经开始认识和使用圆的有关特性。早在原始社会，人们就学会将木料制作圆形的车轮来减小摩擦。在我国南北朝时期，就已经有了圆周率的计算。通过上学期的学习，关于圆的很多知识，如圆周率的计算、圆的半径、直径、周长、面积等等，可以说我都已
2、经了如指掌。然而，有一件小事却让我感触颇深，使我认识到我对圆的认识和应用还远远不够。前几天我陪妈妈去蛋糕店里取生日蛋糕，当蛋糕店师傅边拿出蛋糕边说你订的 12 寸(通过换算，即直径为 40 厘米)蛋糕在这儿。妈妈就问了一句：师傅，你这蛋糕真有 12 寸吗？蛋糕店师傅说是的，如果你不信，可以用直尺测量蛋糕底座的直径。怎么量？妈妈问我，这下把我难住了。我们以前在书上计算圆直径之类的，都是标好圆心的，然后用直尺量一下就可以了。现在不知道蛋糕底座的圆心在哪儿，怎么测量啊！回家后我发现家庭中很多生活用具，如脸盆、菜篮子、碟子、碗等等都是圆形的，而且没有标记圆心，用直尺来直接测量直径显然是不可能的。因此，
3、有必要研究一下没标记圆心的圆直径的测量问题。2、研究目标实际上，上述问题可等同于测量图 1 中所示圆纸板的直径。由于圆心的位置没标记，不能直接用直尺来测量出该圆纸板的直径，所以必须寻求一种间接测量方法。我们学习过如下圆的关系式：圆的面积 s=圆周率 圆半径 r 的平方，圆的周长 c=圆周率 圆的直径d，写成数学公式就是(1)2(2)dc通过数学运算，将(1)式、(2) 式变形为(3)sr2(4)cd图 1 圆心为标记的圆因此，如果能够测量出圆纸板的面积，利用公式(3)就可求出圆的半径，然后利用圆的2直径 d= r2 就可以算出圆的直径。如果能测出圆的周长，就能利用公式(4)计算出圆的直径。考虑
4、到测量方便，我在实验时使用后一种方法，即测量圆的周长。下面我先阐述这种测量方法，然后利用这种方法测量家庭常用用品碟子、洗脸盆表面圆的直径，并用已经测量出的脸盆圆周长来进一步测量小区广场圆直径。3、直径较短圆直径的测量方法在这部分我主要来研究圆直径较短，但圆心不能确定的圆直径测量的方法及步骤。准备材料包括：一支有深颜色的笔、一把直尺、一张足够长的白纸条，这里足够长是指白纸条长度要比所测量圆纸板一个周长长一些。现在结合图 2 来说明我想到的测量方法和步骤。第 1 步，在圆纸板边缘用笔标记一个点，记为 P 点； 第 2 步，按图 2 所示那样将白纸条铺在水平桌面上，然后在白纸条上画出一条长直线，并在
5、纸条开头不远处画一个起始点 A；第 3 步，把圆纸板放在白纸条直线上，并使 P 点与 A 点相接，然后沿着白纸条上直线向前滚动圆纸板；第 4 步，当圆纸板上 P 点与白纸条直线再次接触时，用笔在此处画一个标记点，并用 B 标记；第 5 步，用直尺测量出 A 点到 B 点之间的距离，记为 c。第 6 步，最后进行计算。A、 B 两点之间的距离就是圆的周长。利用公式(4)，就可算出圆纸板的直径。PAPB白纸条圆纸板直线图 2 圆形纸板周长的测量4、直径较长圆直径的测量方法在这部分我主要研究圆直径很长，圆心不能确定的圆直径测量方法及步骤。准备材料包括：一支有颜色的笔、一把直尺、一个已知圆周长的圆纸板
6、。现在结合图3 来说明我想到的测量方法和步骤。PPAB直径很长的大圆圆纸板图 3 直径很长的大圆圆周长的测量3第 1 步，在圆纸板边缘用笔标记一个点，记为 P 点，在待测大圆上标记一个起始点，记为A； 第 2 步，按图 3 所示，把圆纸板放在大圆上，并使 P 点与 A 点相连接；第 3 步，沿着大圆上向前滚动圆纸板，直到圆纸板接近起始点 A 时停止滚动；第 4 步，记下圆纸板在大圆上滚动的圈数，并对最后一次圆纸板和大圆的交界点作标记，这点记为 B 点；第 5 步，因为大圆周长很长，所以 B 到 A 几乎是一条直线，所以余下的 B 到 A 的距离可以用直尺进行测量；第 6 步，计算：假设测出 B
7、 到 A 的距离为 l，圆纸板的周长是 c，圆纸板从 A 点到 B 点滚动的圈数为 n，那么大圆周长 C=cn+l。 利用公式(4) ，就可算出大圆直径。5、实验现在用上述测量方法来做两个具体的测量实验。实验 1：碟子、脸盆表面圆直径的测量由于碟子、脸盆表面圆形的直径比较短，所以我们利用第 3 部分提出的方法进行测量。图 4、图 5 分别为测量碟子和脸盆直径的实验照片。图 4 测量碟子直径的实验图 5 测量脸盆直径的实验每个实验都进行了三次测量，结果记录在表 1 中表 1 碟子、脸盆表面圆的测量值碟子的周长 c(厘米) 脸盆的周长(厘米)第 1 次测量值 78.1 101.3第 2 次测量值
8、77.7 101.5第 3 次测量值 78.3 102.0三次测量的平均值 78.0 101.64碟子的周长取三次测量的平均值，这样可减小误差，数值更准确些。依据表 1 测量数据，可得碟子的直径 (厘米) ，脸盆的直径 (厘米)。9.240.78d 4.326.10d实验 2：小区圆形广场直径的测量由于圆形广场直径较长，所以利用第 4 部分提出的方法进行测量。图 6 为测量圆形广场的实验照片。图 6 测量圆形广场直径的实验测量和计算的结果记录在表 2 中。表 2 圆形广场的测量值及计算结果脸盆滚动的圈数 n (圈)B 点到 A 点的距离 l (分米)大圆的周长 (分米)C=cn+l大圆的直径
9、(分米)Cd51 1.6 519.8 165.5根据小区管理办公室提供的数据，圆形广场直径约为 164.5 分米，与我测量的数据仅仅相差 1 分米，相对误差约为 0.6%，这说明我想到的测量方法比较精确。6、结论和感想 在实际生活中，有很多圆形的物体很难找到其圆心，这些圆直径的测量一般只能用间接方法测量。通过测量碟子、脸盆、圆形广场直径的实验使我了解了数学源于生活，更能应用到生活中去，而且也使我了解到巧妙和灵活地运用数学公式就能帮助我们解决很多实际问题，如怎样利用车轮的滚动测出马路的距离，怎样测出火车铁轨的长度等。此外，通过这次测量实验和数学方面相关资料的查阅，大大增加了我学习数学的兴趣。致谢感谢谷卫章老师的精心指导和帮助。参考资料义 务 教 育 教 科 书 . 五年级数学. 江苏教育出版社.邹斌. 方与圆的智慧 。远方出版社, 2009.吴文俊, 沈康身. 中国数学史大系. 北京师范大学出版社，2004.
