1、双层玻璃功效分析模型张 军西华大学 数学与计算机学院 1 问题重述北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。试建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。2 问题分析热量的流失在物理上是有明确的理路分析，可依照物理定律建立关于热量流失的方程，从而比较“双层”和“单层”玻璃之间在热量保持性能上的差异。3 模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。2. 室内温度 和室外温
2、度 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即热传1T2导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。4 符号说明室内温度1T室外温度2单层玻璃厚度d两层玻璃之间的空气厚度l内层玻璃的外侧温度aT外层玻璃的内侧温度b热传导系数k热量损失Q5 模型建立依据物理学定律 2，可以使用单位时间单位面积热量 Q 来描述热量的损失速度。按照 图 1 所示，相同材料的玻璃以不同的方式摆放，其室内外温度分别为 和 。1T2墙1T2墙 墙墙l1T2d(a) (b)图 1 玻璃设置示意图：(a)单层玻璃情况；(b)双层玻璃情况在本文假设条件下，热传导过程遵从下面的物理规律 2：厚度为
3、 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高的一侧向dT温度低的一侧通过单位面积的热量为 ，与 成正比，与 成反比，即Qd（1）TkQ其中 为热传导系数。a、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 ，外层玻璃的内侧温度为 ，玻璃的热aTbT传导系数为 ，空气的热传导系数为 ，由（1）式单位时间单位面积的热量1k2k传导（热量流失）为：（2）dkdTQbaa 2121 由 及 可得ka1Tb21 121)(kQdTba再代入 就将（2）中 、 消去，变形可得：dTba2 ab（3）dlhksskQ , ,)(211b、单层玻璃的热量流失对于厚度为 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：
4、 d2（4）dTkQ21c、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3） （4）有： （5）2s公式(5)即为对单、双层玻璃热量流失差异建立的数学模型。6 模型求解由于 总是大于零的，故有定性分析结果： ，即双层玻璃的热12ksh Q量损失较少。为了获得更具体的结果，我们需要 的数据，从有关资料可知，不21,k流通、干燥空气的热传导系数 （焦耳/厘米.秒.度） ，常用玻璃的4205.k热传导系数 （焦耳/厘米.秒.度） ，于是3311804k62在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取 ，由（3） （5）可得：12k（6）dlhQ 18当 取值范围为(0,10时，单、双层玻璃隔热效果差异如 图 2：h图 2 单、双层玻璃隔热效果差异变化图可见，当 由 0 增加时， 迅速下降，而当 超过一定值（比如 ）hQh4h后 下降缓慢，可见 不宜选得过大。通常建筑规范要求 ，从而Qh 4hld。即双层玻璃窗比同样多玻璃的单层窗相比节约热量 97%左右。3%7 模型检验实际的测量发现，模型假设条件在实际环境下不可能完全满足，因此实际功效会比上述结果差一些。应进一步讨论热传导非稳定情形下的规律，建立相应的模型，得到热传导方程。参考文献1 姜启源. 数学模型（第二版）M.高等教育出版社，19932 陈宏芳,杜建华. 高等工程热力学 M. 清华大学出版社， 2001
