1、24.1.2 垂直于弦的直径【知能点分类训练】知能点 1 圆的对称性1圆是轴对称图形，它的对称轴是_，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_2两个同心圆的对称轴（ ） A仅有 1 条 B仅有 2 条 C有无数条 D仅有有限条3如图所示，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 E（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（3）在图中，连接 OA，OB，则OAB 是等腰三角形，那么直径 CD 既是O的_，又是OAB 的_把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与_重合， AC与_重
2、合，D与_重合同理可得到 AE_BE， =_， D=_知能点 2 垂直于弦的直径4如图所示，AB 是O 的直径，CD 为弦，CDAB 于 E，则下列结论中不一定成立的是（ ） ACOE=DOE BCE=DE COE=BE D ABCD(第 4 题) (第 5 题) (第 8 题)5如图所示，在O 中，ODAB 于 P，AP=4cm，PD=2cm，则 OP 的长等于（ ） A9cm B6cm C3cm D1cm EODCBA6在O 中，CD 为直径，AB 为弦，且 CD 平分 AB 于 E，OE=3cm，AB=8cm，则O的半径为_7在O 中，直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，COD=100，
3、则COE=_8如图所示，已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，当_时，CDAB （填写一个你认为适当的条件）9如图所示，在ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心，CA为半径的圆与AB，BC 分别交于点 D，E，求 AB，AD 的长10如图所示，在O 中，AB，CD 为两条弦，且 ABCD，直径 MN 经过 AB 中点 E，交 CD于 F，试问：（1）点 F 是 CD 的中点吗？ （2） ACBD吗？【综合应用提高】11如图所示，圆弧形桥拱的跨度 AB=12m，拱高 CD=4m，则拱桥的直径为（ ） A6.5m B9m C13m D15m(第 11 题)
4、 (第 12 题)12如图，在直径为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽 AB=8m，那么油的最大深度是_13如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中 ACD，点 O 是 的圆心，CD=600m，E 为 ACD上一点，且 OECD 于 F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？14一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分） ，测量时只测到桥下水面宽 AB 为 16m（如图） ，桥拱最高处离水面 4m（1）求桥拱半径；（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为 12m，问水面涨高了多少15如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度为 7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽为 3m，船舱顶
5、部为长方形，并高出水面 2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？用你所学的数学知识说明理由【开放探索创新】16不过圆心的直线 L 交O 于 C，D 两点，AB 是O 的直径，AEL，垂足为E，BFL， 垂足为 F（1）在图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母） ，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得的结论【中考真题实战】 17 （黑龙江）如图所示，在O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的弦 ODAB，OE
6、AC，垂足分别为 D，E，若 AC=2cm，则O 的半径为_(第 17 题) (第 19 题)18 （武汉）过O 内一点 M 的最长弦为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OM 的长为（ ） A3cm B6cm C 41cm D9cm19 （南昌）如图所示，在平面直角坐标系中，O与两坐标轴分别交于 A，B，C，D四点，且 AC=BD已知 A（6，0） ，B（0，-3） ，C（-2，0） ，则点 D 的坐标是（ ） A （0，2） B （0，3） C （0，4） D （0，5）20 （河北）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底
7、角均为 90，尺寸如图（单位：cm） ，将 形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的 A，E，B 三个接触点，该球的大小就符合要求图（2）是过球心 O 及 A，B，E 三点的截面示意图，已知O 的直径就是铁球的直径，AB 是O 的弦，CD 切O 于点 E，ACCD，BDCD，请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径答案:1经过圆心的任意一条直线 圆心2C3 （1）是直径 CD 所在的直线（2）相等的线段有 AE=BE；相等的弧有 ABC， ADB根据此图形是轴对称图形，图形两侧部分重合（3）对称轴 对称轴 BE = 4C5C 提示：连结 OA，则 OA2+（OD-PD） 2=AP
8、2，即 OA2+（OA-2） 2=42，OA=5，OP=OD-PD=OA-PD=3cm65cm7508 ABD（或 CE=DE，或 ACD）9解：如右图所示，作 CPAB 于 P在 RtABC 中，由勾股定理，得AB= 2234C=5由 SABC = 1ABCP= ACBC，得 52CP= 34，所以 CP=15在 RtACP 中，由勾股定理，得AP= 223()ACP= 9因为 CPAD，所以 AP=PD= 1AD，所以 AD=2AP=2 95=1810解：如右图所示， （1）点 F 是 CD 的中点直径 MN 平分不是直径的弦 AB，MNAB，ABCD，MNCD，CF=FD（2）由 MNA
9、B，MNCD 得ANB， ACDN， ，即 11C 122cm13解：如右图所示，连接 ODOECD，DF= 12600m=300m在 RtDOF 中，OD 2=OF2+DF2，R 2=（R-90） 2+3002，R=545（m） 这段弯路的半径是 545m14解：（1）如右图所示，设点 O 为 AB 的圆心，点 C 为 AB 的中点，连接 OA，OC，OC 交 AB 于 D，由题意得 AB=16m，CD=4m，由垂径定理得 OCAB，AD= 12AB= 16=8（m ） 设O 半径为 xm，则在 RtAOD 中，OA2=AD2+OD2，即 x2=82+（x-4） 2解得 x=10，所以桥拱的
10、半径为 10m（2）设河水上涨到 EF 位置（如上图所示） ，这时 EF=12m，EFAB，有 OCEF（垂足为 M） EM= 1EF=6m连接 OE，则有 OE=10m，OM= 22106OEM=8（m） OD=OC-CD=10-4=6（m） ，OM-OD=8-6=2（m） 15解：如右图所示，作出 AB所在的圆心 O，连接 OA，ON设 OA=r，则 OD=OC-DC=r-2.4，AD= 2=3.6在 RtOAD 中，有 OA2=AD2+OD2，即 r2=3.62+（r -2.4） 2，解得 r=3.9又在 RtONH 中，有 OH= 223.915ONH=3.6，FN=DH=OH-CD=
11、3.6-（3.9-2.4）=2.1（m） ，这里 2m2.1m，有 0.1m 的等量，因此货船可以通过这座拱桥16解：（1）（2）结论：EC=FD 或 ED=FC（3）选择（1） ，证明：过 O 作 OGCD 于 G，则 CG=GDAECD，BFCD，AEOGBF，则四边形 AEFB 为梯形，AB 为O 的直径，OA=OB，EG=GF，EG-CG=GF-GD，即 EC=DF17 2cm18A 19D20解：连接 OE，交 AB 于 F，连接 OA，由题意得四边形 ABDC 是矩形，由圆的轴对称性可知 OECDCDAB，OEAB且 AF= 12AB= 16=8（cm） ，EF=AC=4cm，设O 的半径为 r，在 RtAFO 中，OA2=OF2+AF2，即 r2=（ r-4） 2+82，解得 r=10，2r=20所以这种铁球的直径为 20cm
