1、垂直于弦的直径(二)内容教学目标1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论 1 是难点.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)2.结合图形 7-35，教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设 结论线 CD平分弦 AB指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由推出 .提问：如果把题设和结论中的 5 条适当
2、互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题. 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦 AB 不是直径”这一条件.这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.已知：如图 7-36，在O 中，直径 CD 与弦 AB(不是直径)相交于 E，且 E 是 AB 的中点.求证：CDAB， .分析：要证明 CDAB，即证 OEAB，而 E 是 AB 的中点，即证 OE 为 AB 的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.
3、利用垂径定理可知 ACBC，ADBD.证明：连结 OA，OB，则 OAOB，AOB 为等腰三角形 .因为 E 是 AB 中点，所以 OEAB，即 CDAB，又因为 CD 是直径，所以2.(1)引导学生继续观察、思考，若选为题设，可得：(2)若选 为题设，可得：以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影打出其它六个命题：3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三个命题，教师板书出垂径定理的推论 1.推论 1 (
4、1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论 2.在图 7-35 的基础上，再加一条与弦 AB 平行的弦 EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图 7-37)学生答接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)证明：因为 EFAB，所以直径 CD 也垂直于弦 EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习例 1 平分已知 .引
5、导学生画图，写已知、求作.已知： (图 7-38)，求作： 的中点.分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.因此，连结 AB，作弦 AB的垂直平分线，它一定平分 .作法：(由学生口述，教师板书，师生共同作图)练习 1 四等分已知 .引导学生在平分 的基础上，进一步平分 AM 和 BM，即可四等分 AB.作图后，提问：四等分弦 AB 是否可四等分 ，为什么?如图7-39 所示.在学生回答的基础上，强调：这种作法是错误的，虽然在等分时作法是对的，但是在等分 和 时是错误的，因为 AT，BT不是 和 所对的弦.因此 AT，BT 的垂直平分线不能平分 和，请同学们务必注意.练习 2 按图
6、 7-40，填空：在O 中(1)若 MNAB，MN 为直径；则 ， ， ；(2)若 ACBC，MN 为直径；AB 不是直径，则 ， ， ；(3)若 MNAB，ACBC，则 ， ， ；(4)若 ，MN 为直径，则 ， ， .此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论 1 的条件和结论.例 2 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 (图 7-41)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4 米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为 7.2 米，求桥拱的半径.(精确到 0.1 米)首先可借此题向学生介绍“赵州桥” ，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学
7、习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥” ，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590608)由李春创建.桥单孔，全长 50.82 米，桥面宽约 10 米，跨径约为 37 米，弧形平缓，拱圈为 28 条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观 在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图 7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以 O 为圆心，R
8、 为半径画出一段圆弧 表示桥拱，弦 AB 表示桥的跨度，即 AB37.4 米， 的中点 C 到线段 AB的距离为 7.2 米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.(2)实际问题已转化为数学问题，下面讨论如何解决这个问题.启发学生观察图形、发现：对于 ，如果经过圆心 O 作弦 AB的垂线 OD，D 为垂足，并延长交 于点 C，那么根据垂径定理可知，OD 平分弦 ，OC 平分弧 ，即 C 点为 AB 的中点，CD 就是拱高，这样做出的图形符合题意.根据勾股定理，在 RtAOD 中就可求出半径 R.解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过 的中点 C 先作出弓形高 CD，
9、即过 C 作 CDAB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线 CD 经过圆心 O，仍然可利用勾股定理，求出半径 R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.例 3 已知；如图 7-43，O 半径为 6 厘米，弦 AB 与半径 OA 的夹角为 30.求：弦 AB 的长.分析：已知圆的半径和半径与弦的夹角.要求弦长，只要利用圆的半径、弦长、圆心到弦的距离之间
10、的关系即可.过圆心 O 作 AB 的垂线段 OD，解 RtAOD，求出 AD 即可求得 AB.解：作 ODAB 于 D，则 ADDB，在 RtAOD 中，因为DAO30练习 3 如图 7-44(厘米)在直径为 650 毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽 AB600 毫米，求油的最大深度.通过此练习题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.再一次明确弦长 a、弦心距 d、半径 r 及弓形高 h 之间的关系.(图 7-45) 四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图 7-46.指出：若垂径定理或推论
11、中的某一个成立，则(1)(1) CAB，OAB，DAB 都是等腰三角形，弦 AB 是它们公共的底边，直径 CD 是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2)(2) ACD 和BCD 是全等的直角三角形，直径 CD 是它们公共的斜边，AE，BE 分别是斜边(3)(2)上的高，AO，BO 分别是斜边上的中线 在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.(3通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业课本 p.82.习题 7.1.A 组.1(10)，11，14，15，16；B 组.2，3，4.板书设计课堂教学设计说明本节内容分两课时完成，第一课时重点讲解垂径定理的推论，第二课时重点进行垂径定理及其推论的应用，如果学生基础较好，可适当增加例题和练习题的量.
