1、勾股定理练习( 根据对称求最小值)基本模型：已知点 A、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线 m 上找一点 M，使得AM+BM 有最小值。1、已知边长为 4 的正三角形 ABC 上一点 E，AE=1，ADBC 于 D,请在 AD 上找一点N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。2、.已知边长为 4 的正方形 ABCD 上一点 E，AE=1，请在对角线 AC 上找一点 N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。3、如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB=2 试在直线 a 上找一点 M，在直线 b
2、 上找一点 N，满足0MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（ ）A 6 B8 C10 D124、已知 AB=20，DA AB 于点 A，CBAB 于点 B，DA=10，CB=5（1）在 AB 上找一点 E，使 EC=ED，并求出 EA 的长；（2）在 AB 上找一点 F，使 FC+FD 最小，并求出这个最小值5、如图，在梯形 ABCD 中，C=45 ，BAD=B=90 ，AD=3 ，CD=2 ， 2M 为 BC 上一动点，则 AMD 周长的最小值为 6、如图，等边ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AB边上一点，则 EM
3、+BM 的最小值为 7、如图AOB = 45，P 是AOB 内一点，PO = 10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值8如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B2 C3 D669、在边长为 2 cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ ，则PBQ 周长的最小值为_cm10、在长方形 ABCD 中，AB=4,BC=8,E 为 CD 边的中点，若 P、Q 是 BC 边上
4、的两动点，且 PQ=2，当四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20dm，3dm ，2dm，A 和 B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B点的最短路程是多少 dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程3、如图，一个高 18m，周长 5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白
5、纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。折叠问题1、如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。2、如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点
6、 B处，点 A 落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）设 AE=a，AB= b，BF=c，试猜想 a、b、c 之间的一种关系，并给予证明3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD= 。4、如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，点 D 落在 BC 边的 D处，AE 是折痕，已知CD=6cm，CD=2cm ，则 AD 的长为 . 5、如图，在 RtABC 中，ABC=90，C=60，AC=10，将 BC 向 BA 方向翻折过去，使点 C 落在 BA 上的点 C，折痕为 BE，则 EC 的长度是（ ）
7、A、5 B、5 5 C、105 D、5 +33336、如图，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知AB=3，BC=7，求重合部分 EBD 的面积。弦图有关问题1、如图，直线 l 上有三个正方形 a、b、c ，若 a、c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（ ）A、4 B、6 C、16 D、552、2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为
8、b，那么(a+b) 2 的值为（ ）A、13 B、19 C、25 D、1693、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作 S1 、S 2、S 3，则 S1 、S 2、S 3 之间的关系是（ ）A、S 1+S 2S3 B、S 1 +S 2S3 C、S 1 +S2=S3 D、S 12 +S22 =S32 4、如图，是 2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标，由 4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为 52 和 4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 。5、已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的
9、面积为 6、如图，Rt ABC 的周长为(5+3 ) cm，以 AB、 AC 为边向外作正方形 ABPQ 和正方形 ACMN 5若这两个正方形的面积之和为 25cm2 ，则 ABC 的面积是 cm2. 7、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图） 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S 2、S 3、S 4，则 S1S 2S 3S 4= 8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” 如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形MNKT 的面积分
10、别为 S1 ，S 2，S 3 若 S1+S2+S310，则 S2 的值是 。 9、如图，已知ABC 中，ABC90,AB BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l 2、l 3 上，且 l1、l 2 之间的距离为 2 , l2、l 3 之间的距离为 3 ,求 AC 的长。勾股定理的证明1、将直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c 的四个直角三角形拼成一个边长为 c 的正方形，请利用该图形证明勾股定理。2、将直角边长分别为 a、b，斜边长为 c 的四个直角三角形拼成一个边长为 a+b 的正方形，请利用该图形证明勾股定理。3、以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两
11、个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。4、已知,如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1, G 为 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合）,以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF,连接 DE 交 BG 的延长线于点 H.（1）求证:BCGDCE HBDE（2）试问当 G 点运动到什么位置时 , BH 垂直平分 DE?请说明理由.勾股定理中考典型题目练习1、 （2014山东枣庄）图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点 A 爬行
12、到顶点 B 的最短距离为 cm2、 （2014山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处则问题中葛藤的最短长度是 _尺3、 （2014乐山）如图，ABC 的顶点 A、B 、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD AC 于点D则 CD 的长为（ ）A B C D 5245354524、 （2014湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2
13、dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A4 dm B 2 dm C2 dm D4 dm2 555、(2014黑龙江牡丹江)如图，在等腰ABC 中，AB=AC，BC 边上的高 AD=6cm，腰 AB 上的高CE=8cm，则ABC 的周长等于 cm6、 （ 2014安徽省）如图，RtABC 中，AB=9，BC=6，B=90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 。7、 （2014 年山东泰安）如图是一个直角三角形纸片，A=30，BC=4cm，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，
14、如图，再将沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC的延长线上的点 A处如图，则折痕 DE 的长 。8、(2013 山东菏泽)如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S 2，则 S1+S2 的值为（ ）A16 B17 C18 D199、 （2013新疆）如图，Rt ABC 中，ACB=90，ABC=60 ，BC=2cm，D 为 BC中点，若动点 E 以 1cm /s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为t 秒（0t6） ，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A 2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5
15、D2 或 3.5 或 4.510 （2013 湖北省鄂州市）如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为2，点 B 到直线 b 的距离为 3， AB=2 试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足0MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（ ）A 6 B8 C10 D211、 （2013 湖北省鄂州市， ）如图，AOB 中，AOB=90，AO=3 ，BO=6 ，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处，此时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 12、(2012 四川省南充市）如图
16、，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四边形ABCD 的面积是 24cm2，则 AC 长是 cm.13、(2011 重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示 .正方形 DEFH 的边长为2 米，坡角A30,B90,BC6 米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当AE 米时,有 DC 2AE 2BC 2 . 14、 （2011 内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形 ABCD 中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2.则 BD 的长为 （ ）A. B. C. 3 D. 2 1415315、 （2011 贵州遵义）如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一
17、个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC 中 BC 边上的高是 。16、 （2010 辽宁丹东市）已知ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 17、 （2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR
18、 使得R=90 ，点H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G、F 在边 PQ 上，那么PQR 的周长等于 18、 （2009 年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm19、 如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ）A12 厘米 B16 厘米 C20 厘米 D28 厘米
19、20、如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、AD 分别和AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为（ ）A B C D3 23254921、在ABC 中，已知 AB=20,AC=15,BC 边上的高 AD 为 12，求ABC 的面积。22、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m 。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？23、如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，
