1、内部资料1第一章勾股定理 知识导学： 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。运用勾股定理进行有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。（其中至少一边）就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进行证明时，要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。 典型例题： 例 1. 如图在 中， ， 的平分线 AD 交 BC 于 D，求证： 。 证明： 平分 在 中， 例 2. 作长为 的线段。 分
2、析： 故只须先作出长为 的线段。 作法： (1)作直角边长为 1（单位长）的等腰直角三角形 。 (2)以斜边 AB 为一直角边，作另一直角边长为 3 的 RtABD ,则线段 BD 的长为所求。 例 3. 如图， 中， 分别为 BC 的高和中线，求DE 的长。 内部资料2解：设 又 在 中， 在 中， 即 解得： 例 4. 如图：正方形 ABCD 中，E 是 DC 中点，F 是 EC 中点。 求证： 。 分析：要证 ，一般方法是在 中取一个角使之等于 ，再证明另一个角也等于 ， 另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角。 证明：取 BC 中点 G，连结 AG 并延长交 DC 延长线于
3、H。 ABG= HCG, BG=CG ,AGB= HGC 又 在 中，设 ，由勾股定理得： 又 内部资料3课后练习： 1. 如图， 中， ，D 为 BC 的中点。 求证： 。 2. 如图 中， ，求 AC 的长及的面积。 3. 如图 中， ，AD 为 的平分线交 BC 于D， ， ，求 AC 的长。 4. 如图， 中， ，求 BC 的长。 5. 如图 中， ，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 ，求证： 。 答案： 1.证明： 2. 解：作 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E 连结 BE，则 在 中， 内部资料43. 解：作 交 AB 于 E 平
4、分 在 和 中， 在 中， 又 4. 解：作 于 D 由 知 又 在 中， （负值舍去） 内部资料55. 证明：延长 FD 到 G 使 连结 AG、EG，则 EF=EG 趣话勾股定理 1955 年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。 勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称
5、得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作周髀算经中，第一章记述了西周开国时期（约公元前 1000 年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。周髀算经里还这
6、样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。 这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影
7、的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有内部资料6不少杰出的证明，如利用反证法证明2 不是有理数，
8、但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！ 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的几何原本里。 汉朝的数学家赵君卿，在注释周髀算经时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算） 勾股定理及其逆定理 一、知识要点 1.掌握直角三角形的性质。 如图，直角 ABC 的性质 （1）勾股定理:C=90，则有 c 2=a2+b2 另外还有
9、: （2）C=90，则有A+B=90,（3）C=90，则有 ca, cb。 （4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30 度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。 如图： C=90且A=30，则有 BC= AB (或者 AB=2BC) 2.掌握勾股定理的逆定理： 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。 即在 ABC 中，若 a2+b2=c2，则 ABC 为 Rt。其中 c 是三角形中最长的边。 3.注意事项: (1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。 (2) 理解勾股定理的一些变式 c 2=a2+b2, a2=
10、c2-b2，b 2=c2-a2 c 2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c) (3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。 满足不定方程 x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： (3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17) 如果(a,b,c)是勾股数，当 t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 二、例题精讲: 例 1、已知如图，在 ABC 中，ACB=90，AB=5cm,
11、 BC=3cm, CDAB 于 D，求 CD 的长。内部资料7分析：本题考查勾股定理的应用，解题思路为先用勾股定理求 AC，再运用三角形的面积公式得到SABC =BCAC= ABCD，于是不难求 CD。 解：因为 ABC 是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有AC 2=AB2-BC2=25-9=16，故 AC=4。 又 SABC = BCAC= ABCD CD= ， CD 的长是 2.4cm。 解题规律： （1）勾股定理的一个重要应用就是已知直角三角形的两边可以求出第三条边。因此，熟记一些平方数为勾股定理的运用提供便利。 （2）本题的解题关键是先用勾股定理求 AC，再用“面积法”求 C
12、D。 例 2、试判断：三边长分别为 2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n0)的三角形是否是直角三角形。 分析：条件中给出的是三边的长，要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。 解： (2n 2+2n+1)-(2n2+2n)=10, (2n 2+2n+1)-(2n+1)=2n20(n0), 2n 2+2n+1 为三角形中最大边。 又 (2n 2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n 2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n 2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根据勾
13、股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。 解题规律： 如何判定一个三角形是否是直角三角形。 首先判定出最大边（如 c）； 验证：c 2与 a2+b2是否具有相等关系： 若 a2+b2=c2，则 ABC 是以C 为直角的直角三角形。 若 a2+b2c 2， 则 ABC 不是直角三角形。 例 3、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。 分析：要判断 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解：由 a2+b2+c2+50=6a
14、+8b+10c，得 a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3) 2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3) 20, (b-4) 20, (c-5) 20。 a=3，b=4，c=5。 3 2+42=52, a 2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。 内部资料8评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 例 4、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F处，已知 AB=8cm, BC=10cm，求 EC 的长。 分析:容易知道三角形 AEFAED
15、，则 AF=AD=BC=10，易求得 BF、CF，在 RtEFC 中，满足EF2=CE2+CF2。 解：设 CE=x, 则 DE=8-x, 由条件知：AEFAED，AF=AD=10， EF=DE=8-x, 在 ABF 中，BF 2=AF2-AB2=102-82=62, BF=6, FC=4, 在 RtEFC 中：EF 2=CE2+CF2， (8-x) 2=x2+42, 即 64-16x+x 2=16+x2, 16x=48, x=3, 答：EC 的长为 3cm。 解题规律：1.题目中有多个直角三角形，可以多次使用勾股定理；2.利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法。 例 5.如
16、图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。 分析：题目中给出的是一些线段之间的关系,如何利用线段关系来考察直线垂直呢?连接 DF,我们发现考察 FE 与 DE 是否垂直,实际上就是考察三角形 DEF 是否为直角三角形。 答：DEEF。 设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE 2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接 DF（如图） DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF 2=EF2+DE2, FEDE。
17、解题思路: （1）要正确区别与运用勾股定理和它的逆定理； （2）用计算的方法来说明三角形是直角三角形也是常用的方法；（3）还可以设 AB=a,有兴趣的同学试试看；（4）在以后的学习中还可以看到此题有更多和更好的证明方法。 例 6、（上海市中考题）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN=30，点 A 处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：（1）要判断拖拉机的噪音是
18、否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP=90，APB=30， 内部资料9AP=160， AB= AP=80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向
19、行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 AC=100(m)，由勾股定理得：BC 2=1002-802=3600, BC=60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),CD=120(m)。 拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s t=120m5m/s=24s。 答略。 小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 例 7.CD 是 ABC 的高，试判断：“CA 2-CB2=AB(DA-DB)”是否成立？ 分析： (1)作出三角形的高以后,可以出现两个直角三角形
20、； (2)由于三角形的高有不同情况，高可能在三角形内部,可能在三角形外部,因而要考虑分类讨论； (3)根据问题需要，可考虑应用勾股定理进行试探。 答：（1）当 CD 在 ABC 形内时（如图）： CA 2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD-DB) （2）当 CD 在 ABC 形外时（如图）： CA 2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD+DB) 所以，当高在三角形内部时成立，在三角形外时不成立。 解题思路: （1）有直角时，出现线段平方的关系常常会涉及到勾股定理； （2）当可能性不唯一时，要分类讨论。 练习: 1.填空题目: （1）
21、直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为_； 答：6。 详解：设两直角边分别为 a 和 b，则有：a+b=7, 将 a+b=7 两边平方得： a 2+2ab+b2=49 而 a2+b2=52=25, 2ab=24, ab=6。 （2）如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 2 倍，斜边长是 5cm，那么这个直角三角形的面积为_。 答：5 详解：设一条直角边为 a，另一条直角边为 2a，则 S = a2a=a2, 而 a2+(2a)2=25, a 2=5，S =a2=5。 (3)若三角形的三边为 n+1, n+2,n+3，当 n=_时，这个三角形是直角三角形。 内部资料12答：2。
