1、反函数定义一般地，设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x= g(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= g(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示 y 是自变量，x 是因变量 y 的函数，这样的函数 x= g(y)(yC)叫做函数 y=f(x)(xA)的反函数，记作 y=f-1(x). 反函数 y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称； 函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称（2）函
2、数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是 f(x)=ax,x0，但是 y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法
3、则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2） 例：y=2x-1 的反函数是 y=0.5x+0.5 y=2x 的反函数是 y=log2 x 例题：求函数 3x-2 的反函数 解：y=3x-2 的定义域为 R，值域为 R. 由 y=3x-2 解得 x=1/3(y+2) 将 x,y 互换,则所求 y=3x-2 的反函数是 y=1/3(x+2)（x 属于 R） （11）反函数的导数关系：如果 X=F(Y）在区间 I 上单调，可导，且F（Y）不等于 0，那么他的反函数 Y=F（X）在区间 S=X|X=F(Y),Y 属于 I 内也可导，且F（X)=1F（Y
4、）。 反函数说明在函数 x=f(y)中，y 是自变量，x 是函数，但习惯上，我们一般用 x表示自变量，用 y 表示函数，为此我们常常对调函数 x=f(y)中的字母 x,y，把它改写成 y=f(x)，今后凡无特别说明，函数 y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数 y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数 y=f(x)有反函数 y=f(x)，那么函数 y=f(x)的反函数就是 y=f(x)，这就是说，函数 y=f(x)与 y=f(x)互为反函数。 互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函
5、数，如二次函数在 R 内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。 从映射的定义可知，函数 y=f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射，而它的反函数 y=f(x)是集合 C 到集合 A 的映射，因此，函数 y=f(x)的定义域正好是它的反函数 y=f(x)的值域；函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f(x) 定义域： A C 值域： C A 上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数 y=f(x)的映射 f 是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由 f 的“逆”映射 f-1 所确定的函数 y=f
6、(x)就叫做函数 y=f(x)的反函数. 反函数 y=f(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以写为 f(s)=s/v，同样y=2x+6 记为 f(x)=2x+6，则它的反函数为：f(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将 x 进行分类讨论：在 x 大于 0 时的情况，x 小于 0 的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为 y=ax+b/cx+d(a/c 不等于 b/d)-y=b-dx/cx+a 反函数应用直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解 x，也就是用 y 来表示 x； 3、改写，交换位置，也就是把 x 改成 y，把 y 改成 x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x 取任意实数） 特别地，形如 kx+ky=b 的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。 反函数求解三步骤： 1、换：X、Y 换位 2、解：解出 Y 3、标：标出定义域
