1、勾股定理知识点梳理1.直角三角型有哪些特殊的性质;角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在 RtABC 中， ；面积，两种cba22计算面积的方法。2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？有一个内角为直角的三角形是直角三角形；两个内角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长为 a、b、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形c23勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的
2、结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为22abcabc正整数时，称 ， ， 为一组勾股数abc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ；3,45； ； ，8,15,17；9,40,41 等6,8105,237,456.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFG
3、HSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sabc大正方形面积为 22()Sabab所以 22abc方法三： ， ，化简得证1()Sab梯 形 212SADEBabc梯 形 cbaHGFED CBA bac baccabcab abccbaEDCBA一典型例题类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9 ，求 c； (3)已知 c=25，b=15 ，求 a.思路点拨: 写解的过程中，一定
4、要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图B =ACD =90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC 的长. 思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有， ，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进而求出 BC 的长. 举一反三【变式 1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 【变式 2】已知：如图， B=D=90 ，A=60 ，AB=4 ，CD=2。求：四边形 ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
5、3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现
6、状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程解：如图，在 Rt中，底面周长的一半 cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） AC （cm） （勾股定理） 答：最短路程约为c
7、m类型四：利用勾股定理作长为 的线段5、作长为 、 、 的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断
8、是否正确1原命题：猫有四只脚 （正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 （正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等 （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC
9、 的形状。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3， BC=4， CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。【变式 2】已知: ABC 的三边分别为 m2n 2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a 2+b2=c2 即可证明：所以ABC 是直角三角形 .【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。经
10、典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，
11、然后利用勾股定理列方程求解。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5 ，6 C、5，8 ，10 D、 8，39 ，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，【变式 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN 30，点 A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果
12、受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。（2 ）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m 5m/s24s。 答：
13、拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了_ 步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+47(m)设走“捷径”的路长为 xm，则故少走的路长为 752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。 【答案】4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之
14、为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是AB、 AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现
15、已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60， ，求 、 、的值。 思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。
