1、24 反函数例题解析【例 1】求下列函数的反函数：()y(x)23(0 ， ， 512(3)(0)4yx+1 () 2解 () yy(2y3)x5x(x) ， ，由 得 ， 所 求 反 函 数 为 51323y解 (2)y(x1) 22，x(，0 其值域为 y2，)，由 ， 得 ， 即 反 函 数 为 ， (1)0)11f(x2)y 2解 (3)yx)0yf(x)(0x1)1 ， 它 的 值 域 为 ，由 得 ， 反 函 数 为 2y解 (4)y0f()()x1)12由 ，得 值 域 ， 反 函 数 由 ，得 值 域 ， 反 函 数 ，故 所 求 反 函 数 为 yf(x)1x0)0 122【
2、例 2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像(1)y1(2)y3x2(0) x解 (1)已知函数的定义域是 x1，值域为 y1，由 ， 得 反 函 数 函 数 与 它 的 反 函 数 的 图 像 如 图 所 示 ()2412解 (2)由 y3x 22(x0)得值域 y2，反 函 数 f(x)(x)13它们的图像如图 242 所示【 例 3】 已 知 函 数 ， f(x)(a)3113(1)求它的反函数；(2) 求使 f-1(x)f(x) 的实数 a 的值解 (1)yxxa3()1ay3设 ， ， ， ， 这 里 ，若 ， 则 这 与 已 知 矛 盾 ， ， ， 即 反 函 数 x
3、f(x)1313y(2)f() x1若 ， 即 对 定 义 域 内 一 切 的 值 恒 成 立 ，3a令 x0，a3或解 由 f(x)f -1(x)，那么函数 f(x)与 f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是x|x a， xR，值域 yy|y 3，yR ，a3 即 a3【 例 4】 已 知 函 数 中 ， 、 、 、 均 不 为 零 ，f(x)bcdcd试求 a、b、c、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身解 f(x)ca0f(x)x1 ， 常 数 函 数 没 有 反 函 数 ， 又 ，要 使 ， 对 定 义 域 内 一 切 值 恒 成 立 ，adbcadbx令 x0，得ad，即 ad0
4、事实上，当 ad0 时，必有 f-1(x)f(x) ，因此所求的条件是 bcad 0，且 ad0【例 5】设点 M(1，2)既在函数 f(x)ax 2b(x 0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1) 求 f-1(x)， (2)证明 f-1(x)在其定义域内是减函数解证 (1)2ab 4a f(x)(x0)()yx(0)f()()22 1由 得 ， 由 得 反 函 数 137373设 ， ， ， 即 ，故 在 ， 上 是 减 函 数 x73xf()f()f()121211732【 例 6】解 法 一 若 函 数 ， 求 的 值 先 求 函 数 的 反 函 数 ，于 是 f(x)f(2)() f
5、(xf253211211解法(二) 由函数 yf(x)与其反函数 yf -1(x)之间的一一对应关系 ， 求 的 值 ， 就 是 求 时 对 应 的 的 值 ， 令 ，得 ， 即 f(2)(x)2x2x53f5311 x1【 例 7】 已 知 ， 且 ， 设 函 数 且 ， 证 明 的 图 像 关 于 直 线 对 称 a0a1f()(x)yf(x)yxRRa1证 ya01(a)1a1ya1由 ， ， ， 得 ，如 果 ， 则 ， 得 ， 这 与 已 知 矛 盾 ，x ， 故 ， ，即 证 得 的 反 函 数 就 是 它 本 身 ay10f(x)f(x)ay因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线 yx 对称，函数 yf(x)的图像关于直线 yx 对称
