1、24 反函數例題解析【例 1】求下列函數的反函數：()y(x)23(0 ， ， 512(3)(0)4yx+1 () 2解 () yy(2y3)x5x(x) ， ，由 得 ， 所 求 反 函 数 为 51323y解 (2)y(x1) 22，x(，0 其值域為 y2，)，由 ， 得 ， 即 反 函 数 为 ， (1)0)11f(x2)y 2解 (3)yx)0yf(x)(0x1)1 ， 它 的 值 域 为 ，由 得 ， 反 函 数 为 2y解 (4)y0f()()x1)12由 ，得 值 域 ， 反 函 数 由 ，得 值 域 ， 反 函 数 ，故 所 求 反 函 数 为 1y0f(x)1x0)10 2
2、2【例 2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像(1)y1(2)y3x2(0) x解 (1)已知函數的定義域是 x1，值域為 y1，由 ， 得 反 函 数 函 数 与 它 的 反 函 数 的 图 像 如 图 所 示 ()2412解 (2)由 y3x 22(x0)得值域 y2，反 函 数 f(x)(x)13它們的圖像如圖 242 所示【 例 3】 已 知 函 数 ， f(x)(a)3113(1)求它的反函數；(2) 求使 f-1(x)f(x) 的實數 a 的值解 (1)yxxa3()1ay3设 ， ， ， ， 这 里 ，若 ， 则 这 与 已 知 矛 盾 ， ， ， 即 反 函 数
3、 y3aaxf(x)113a(2)f() x1若 ， 即 对 定 义 域 内 一 切 的 值 恒 成 立 ，3a令 x0，a3或解 由 f(x)f -1(x)，那麼函數 f(x)與 f-1(x)的定義域和值域相同，定義域是x|x a， xR，值域 yy|y 3，yR ，a3 即 a3【 例 4】 已 知 函 数 中 ， 、 、 、 均 不 为 零 ，f(x)bcdcd試求 a、b、c、d 滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身解 f(x)ca0f(x)x1 ， 常 数 函 数 没 有 反 函 数 ， 又 ，要 使 ， 对 定 义 域 内 一 切 值 恒 成 立 ，adbcadbx令 x0，得ad，
4、即 ad0事實上，當 ad0 時，必有 f-1(x)f(x) ，因此所求的條件是 bcad 0，且 ad0【例 5】設點 M(1，2)既在函數 f(x)ax 2b(x 0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1) 求 f-1(x)， (2)證明 f-1(x)在其定義域內是減函數解证 (1)2ab 4a f(x)(x0)()yx(0)f()()22 1由 得 ， 由 得 反 函 数 137373设 ， ， ， 即 ，故 在 ， 上 是 减 函 数 x73x0f()f(x)f()121211732【 例 6】解 法 一 若 函 数 ， 求 的 值 先 求 函 数 的 反 函 数 ，于 是 f(x)f
5、(2)() f(xf253211211解法(二) 由函數 yf(x)與其反函數 yf -1(x)之間的一一對應關系 ， 求 的 值 ， 就 是 求 时 对 应 的 的 值 ， 令 ，得 ， 即 f(2)(x)2x2x53f5311 x1【 例 7】 已 知 ， 且 ， 设 函 数 且 ， 证 明 的 图 像 关 于 直 线 对 称 a0a1f()(x)yf(x)yxRRa1证 ya01(a)1a1ya1由 ， ， ， 得 ，如 果 ， 则 ， 得 ， 这 与 已 知 矛 盾 ，x ， 故 ， ，即 证 得 的 反 函 数 就 是 它 本 身 ay10f(x)f(x)ay因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線 yx 對稱，函數 yf(x)的圖像關於直線 yx 對稱
