1、湖南师大附中高三数学第 1 次月考试卷（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合 2log(1)0Sx， ，则 ST等于 （ ）20TxA.0,2 B., C.1, D.2,解：集合 ，集合 T= 从而 故选答案 D.x2x或 x2、下列命题中，正确的有 （ ）若 ，则 ； 若 ，那么 ；0ab1abab2cab若 ， 则 ； 若 ，则 .2c 31A B. C. D.解：为真命题，故选 B.3、函数 的图象大致是 ( ) lgxy解： 由函数的奇偶性排除 A,B,又因为当 x1 时 y0,故选 D4、
2、设 、 是两个不同的平面， ml、 为两条不同的直线，命题 p：若平面 /，l， m，则 l/；命题 q： /， l， ，则 ，则下列命题为真命题的是 （ ）Ap 或 q Bp 且 q C 或 q Dp 且pq解：易知两个命题均为假命题,故选 C5、已知向量 若 与 的夹角为 ，则直线(2cos,in),(3cos,in),abab120与圆 的位置关系是 （ ）2cosi10xy22)xyA相交且不过圆心 B. 相交且过圆心 C. 相切 D.相离解： ，6(cossin)6cos-ab （ ）则01123,21()2又圆 的圆心到直线 的(cos)(sin)xy2cossin0xy距离为 ，
3、故选 B.2210()(i)6、在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 则 一ABCabcABC2cos,AbcBC定是 （ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定解：（法一）由 故 是222 21coscs ,babcbA直角三角形，故选 .B（法二）：由 21os,insicoAbABCsincosinsicinco0,2ACC故 是直角三角形.B7、设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 ， 两点，若21(0,)xyabl(,)Aa(0,)Bb原点 到 的距离为 c43，则双曲线的离心率为 （ ）OlA 23或 B2 C 32或 D 32解：A 设直
4、线 的方程为 由题意知l1xyab， 即 x+ay-b=0,解得 .422,36,abce易 得 23e或8、已知点 为 内一点，且 则 、 、 的OABC30,OABCAOBC面积之比等于 （ ）A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3解：依题意得 ,取 的中点 ，连结 ，3()D则有 , , , , ，2OBCD6BOABO/AB12OABCS4主视图左视图俯视图3, ,因此112626BOCDABCABSS11()263COABCABSS的面积之比等于 ，即 .选 C.A、 、 23或:二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中
5、对应题号后的横线上.9、若 ；则 的值为_. 5log41xx解：由已知得 , 所以 .4451logll 541log5x10、一个几何体的三视图如图所示，其中它的左视图为正三角形，则该棱柱的全面积为_.解：据已知三视图可知几何体为正三棱柱，等边三角形的高为 故三棱柱底面为边长等,3于 2 的等边三角形，又三棱柱的侧棱长为 4，故此三棱柱的全面积为S= .23432411、如图所示，圆 上一点 ， 为圆 的直径， 于点 D，CD=4，BD=8 ，OCABOCAB则圆 O 的半径等于 解：由射影定理得 AD=2，所以圆 O 的半径等于 512、已知实数 x, y 满足 , 如果目标函数 的最小
6、值为 ，则实数12xmzxy1等A BODC于_ 解：5.13、某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率为_. 解: 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到 k次红灯的事件 0,12kB.则由题意，得 4021638P，13214 424,838PBCPC.事件 B 的概率为 0129BB.14、若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则2()lnfxx(1,)k实数
7、 的取值范围是_.k解：由于 ，故函数的递增区间为 ，递减1()1()4(0)f x(,)2区间为 ，故若函数在区间 上不单调，有 ，解得(0,)2(,)k12k3.k15、数列 的前 n 项和为 ，若数列 的各项按如下规律排列：anSna有如下运算和结论：12312412,.,.,.45 238数列 是等比数列；1345678910,.aaa数列 的前 n 项和为 ；12345678910,. 24nT若存在正整数 k,使 ，则 .10,kkS57ka其中正确的结论个数有_ . 解： 故对；23,8aF EGMD1 C1B1A1 D CBAK EH1 111 C中数列通项 是等差数列，不是等
8、比数列；.1212n nb中数列的前 项和为 故正确；3,24nT由2 25512345T106, 10,4 77n T得 而故正确.53,77ka所 以故填.三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、 （本小题满分 12 分）已知向量 (2 ， )， ( ，2 )，函数 f(x) 3.acosxb3sinxcosab（）当 时，求函数 f(x)的值域；0,)（）若 ，且 ，求 的值.8(5f=,61p()12p-解：（）由已知 f(x) sin2x2cos 2x3 sin2xcos2x42sin(2x )4. 36当 时， ， .0,2x7(,
9、)6sin()(,62故函数 f(x)的值域是(3，6. 6（）由 ，得 ，即 . 85=282si()45x4si()5x因为 ，则 ，所以 .8 (,)61p ,63co6. 1222cos2cos(2)s()sin()4 10xxxx17、 （本小题满分 12 分）如图所示，正方体 中，点 分别是1ABCD-,MGEF， ，的中点.11AM， ， ，（）求证： ； 1EFG平 面 平 面（）求直线 与平面 所成角的正弦值.CD解法一：（）证明： 1B， 是 ， 的 中 点 ，111 1FEBCDBCCFEDG5 ， ，平 面 平 面平 面 平 面 平 面（） 1K取 的 中 点 ， 连
10、接 ，11121CHEBDCGE9G7H=1=+441sinE7417GDC.2 取 的 中 点 ， 连 接 ， ， ， 平 面平 面为 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ；设 正 方 体 的 棱 长 为 ， 在 中 ， ， （ ）直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为解法二：如图建立空间按直角坐标系：（）设正方体的棱长为 1，则 ，(0,)2E， ，1(,)2F(0,)， ，E,DC， ，1(,)EF所以 ， ，10. ,所以1EFDC，所以 .1平 面 1EFGDC平 面 平 面（） , , , 为平面 的一个法向量，()24G(0)2(,0)4(0,)n1D设直线 与平面
11、所成角为 ，则E1CD47si16EGn18、 （本小题满分 12 分）过曲线 上一点 作曲线的切线，交 轴于点 ；过 作垂直于 轴的直21yx0,2Qx1Px线交曲线于 ，过 作曲线的切线交 轴于 ；过 作垂直于 轴的直线交曲线于 ；x2x2Q如此继续下去得到点列： ， ， ，设 的横坐标为 .1P2nnna（）求数列 的通项公式；na（）设 ， ，试比较 与 的大小，并予以证明.1nb12nnSb nS12n解：（）因为 ，曲线在 的切线方程为 ，2()yx0(,)Qyx令 ，有 .0y1a曲线在点 处的切线方程为：112(,)nnQ312112()()nnnyxaa该切线和 轴的交点为
12、，令 解得 的横坐标为 ，即x,0nPynP12na.12()nn所以 ，故 . 52na1na（） .1nnb1223nnnS 341n 得21112nnnS2n8nS1n2n1n(2)n下面比较 与 的大小.2由 ； ； ； ；12131421可猜测 时， .下用数学归纳法证明：3nn当 时，由上验算显然成立；假设当 时猜想成立，即()k21k则当 时，1n12()42()1(2)(1)kk kk所以，当 时，猜想也成立.由归纳假设可知，对一切 的正整数，都有 .3nn所以，当 时 ；当 时 .121,2nS12nS12n注：也可用二项式定理证明.19、 （本小题满分 13 分）某人 20
13、10 年初买了一辆价值为 17.5 万元的新车.同时,他打算在 2017 年年底花 80 万元购一套商品房，为此，他从 2010 年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔存款到2017 年底连本带息共有 80 万元.（）如果每年的存款数额相同，依年利息 2.5%并按复利计算,他每年存入了多少钱?（）在第一问的条件下，如果他打算在 2016 年初时卖掉这辆车, 专家预测这种车首年折旧 20%，第二年在前一年价值的基础上折旧 10%，第三年在前一年价值的基础上折旧 5%，以后每年按照 5%的速度折旧.他大概能卖得多少钱? 这笔钱够不够支付下一年年初的购房专用款？（ ，计算结果精确到 0.01
14、万元， =存 期复 利 计 算 公 式 ： 本 利 和 本 金 （ 1+利 率 ）参考数据： ）841.025.,90.8解：（）设每年应存入 x 万元， 则 2010 年初存入的钱到 2017 年底本利和为 ，8(12.5%)x2011 年初存入的钱到 2017 年底本利和为 7,2017 年初存入的钱到 2017 年底本利和为 .()x根据题意，得 87(12.5%)(12.5)(12.5%)80xxx解得(.).0x.8故每年大约应存入 8.88 万元. 6 （）由题意得,用满一年后该车的价值为 万,17.5(20)14用满两年后该车的价值为 万,14(0%)6用满三年后该车的价值为 2
15、.6万 ， ，用满 6 年后该车的价值为 万, 4(5)1.2所以用满 6 年时卖掉这辆车，他大概能得到 10.21 万元. 12 又因为 10.218.88, 所以这笔钱够支付下一年年初的购房专用款. 13 20、 （本小题满分 13 分）已知点 ， ，动点 到点 的距离是 ，线段 的中垂线 交 于1(,0)F2(,)A1F232AFl1AF点 .P（）当点 变化时，求动点 的轨迹 的方程；APG（）过点 、 分别作互相垂直的两条直线分别与轨迹 交于点 、 和点 、12 DEM，试求四边形 的面积的最大值和最小值NDMEN解析：（）如图，|AF 1|2 ，|PA|PF 1|2 ，又3 3|P
16、A|PF 2|，|PF 1|PF 2|2 ，3由椭圆的定义可知动点 P 的轨迹 G 的方程为 1. 4x23 y22（）当直线 DE 与 x 轴垂直时，|DE| ，43此时|MN|2 ，四边形 DMEN 的面积为 4，3|DE|MN|2同理，当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形 DMEN 的面积为 4.|DE|MN|2当直线 DE，MN 与 x 轴均不垂直时，设直线 DE 的方程为yk(x1)(k0)，代入椭圆方程，消去 y，得(23k 2)x26k 2x3k 260.设 D 点的坐标为(x 1，y 1)，E 点的坐标为(x 2，y 2)，|x 1x 2| ，(x1 x2)2 4x1x243
17、k2 13k2 2|DE| |x1x 2| .k2 143(k2 1)2 3k2同理，|MN| .43( f(1,k)2 12 3( f(1,k)2 43(f(1,k2) 1)2 3k2四边形 DMEN 的面积22221143()4()1()263kDEMNkkS 9令 ，得 .21uk4()436136uu当 时， ，且 是以 为自变量的增函数2,k92,5Su，综上可知，四边形 面积的最大值为 4，最小值为 .139645SDMEN962521、 （本小题满分 13 分）已知函数 ， （ 为自然对数）()lnfxe1()()gxfxee（）求函数 的极大值；（）求证： （ ） ；123ne *N（）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得()fxhxkb、和 都成立，则称直线 为函数 与 的分界线.设 ，()fxkbkbyk()fxh21()hx试探究函数 与 是否存在“分界线”？若存在，请给以证明，并求出 的值；()fx k、若不存在，请说明理由.解：（） 1()()ln(1)gfxe.0x令 ，解之，得 ；()1x令 ，解之，得 .gx函数 在 上单调递增，在 上单调递减.()0,(,)的极大值为 .3x(1)2g（）由（）知， 是函数 的极大值点，也是最大值点.x()gx，即 （当且仅当 时等号成立）()gxlnln1x1x
