1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/w
2、xjkygco三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二次函数的基本性质(1
3、)二次函数的三种表示法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygcoy=ax2+bx+c;y=a(xx 1)(xx 2);y=a(xx 0)2+n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)当 a0,f(x)在区间p,q上的最大值 M，最小值 m,令 x0= (p+q) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 0 时，f( )| + |;(3)当 a0 时，二次不等式 f(x)0 在p,q恒成立或,0)(2pfb;0)(2,0)2(fababf或(4)f(x)0 恒成立 .0,)(;0, cbaxfca 或恒 成 立或典型题例示范讲解 头ht
4、p:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=bx ，其中 a、b、c满足 abc,a+b+c=0,(a,b,cR ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco两函数的图象交于不同的两点 A、B ；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查考生对
5、函数中函数与方程思想的运用能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由于此题表面上重在“形” ，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxj
6、kygco 利用方程思想巧妙转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco由 消去 y 得 ax2+2bx+c=0ba =4b24ac=4(ac) 24ac=4(a 2+ac+c2)=4(a+ c243)a+b+c=0, abc,a0,c 0, 0,即两函数的图象交于不同的两点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j43(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2= ,x1x2= 头ht
7、p:/w.xjkygcom126t:/.jab|A1B1|2=(x1x 2)2=(x1+x2)24x 1x22()4(baca2234)14()ccabc,a+ b+c=0,a0,cacc,解得 (2, )2 的对称轴方程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1)(42af a(2, )时，为减函数ac|A 1B1|2(3,12),故|A 1B1|( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3,例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1
8、，2) 内，求 m 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题重点考查方程的根的分布问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:
9、/wxjkygco用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1 ， 2)内，画出示意图，得成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom1
10、26t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j65,21056)2(,41,)0(mRff 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1) 内，列不等式组10,)(,mf.0,21,2,m或(这里 00),若 f(m)0,则实数 p 的取值范围是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2x),若 f(1 2x2)0 且 a1)33llogat(1)令 t=ax,求 y=f(x
11、)的表达式；(2)若 x(0,2 时，y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如果二次函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足 =0,其rq12中 m0,求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco(1)pf( )0,则 f(0)0,而
12、f(m)210,m(0,1), m10,f (m1)0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygcoA3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 只需 f(1)=2p 23p+90 或 f(1)=2p 2+p+10 即3p成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j或 p1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3,
13、) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j233答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (3， ）4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(2+x)=f(2x) 知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|1 2 x22| |1+2x x 22|,2x0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x05 头htp:/w.xjkygcom126t:/
14、.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1）由 loga 得 logat3=log ty3log ta33logytt由 t=ax知 x=logat，代入上式得 x3= ,x3loglog ay=x23x+3，即 y=a (x0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j32(2)令 u=x23x+3=(x )2+ (x0),则 y=au4若 0a1,要使 y=au有最小值 8，则 u=(x )2+ 在(0，2 上应有最大值，但 u 在(0，2 上不存在最大 值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 a1,要使 y=au有最小
15、值 8，则 u=(x )2+ ,x(0,2 应有最小值34当 x= 时，u min= ,ymin=23443由 =8 得 a=16 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所求 a=16,x= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j436 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(0)=10(1)当 m0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2）当 m0 时，则 解得 0m 13综上所述，m 的取值范围是m
16、|m 1 且 m0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1) )()()( rqpf 成都市第九中学 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)2(1 2)1()(22 mp mpprq,由于 f(x)是二次函数，故 p0,又 m0,所以，)(22pf( )0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r当 p0
17、 时，由(1）知 f( )01m若 r0,则 f(0)0,又 f( )0,所以 f(x)=0 在(0 ， )内有解;1m若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( )+r= 0,p2rp2又 f( )0, 所以 f(x)=0 在( ,1)内有解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1m当 p0 时同理可证 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1）设该厂的月获利为 y,依题意得y=(1602x)x (500+30x)= 2x2+
18、130x500由 y1300 知2x 2+130x500 1300x 265x+900 0，(x20)(x45)0，解得 20x45当月产量在 2045 件之间时，月获利不少于 1300 元 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2）由(1）知 y=2x 2+130x500= 2(x )2+1612 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5x 为正整数，x =32 或 33 时，y 取得最大值为 1612 元，当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润 1612 元 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
