1、第3讲 直接证明与间接证明随堂演练巩固1.证明命题:”f(x)=e 在 上是增函数”,某同学给出的证明如下 : x1e(0)f(x)=e f(x)=e . x又x0,e .e . x也就是f(x)0. 函数f(x) 在 上是增函数 ,这位同学所使用的证明方法是( ) (0)A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 【答案】 A 2.分析法又叫执果索因,若使用分析法证明,设abc,且a+b+c=0,求证: .索的因23bac应是( ) A.a-b0 B.a-c0 C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)bc,且a+b+ c=0, 23ca0,即证 成立. 也就是 成立. (
2、)a整理可得(a- c)(2a+c)0, 又a+c=-b,即证(a-c )(a-b)0. 由于abc,a-b0且a-c0. 也就是不等式(a-c )(a-b)0显然成立. 故若用分析法证本题,索的因应是C项. 3.用反证法证明命题“如果ab,那么 ”时,假设的内容是 . 3ab【答案】 3【解析】 “如果ab,那么 ”若用反证法证明,其假设为 . 3 3ab4.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在ABC中,若 AB=AC,P是ABC内一点 APB求证: .用反证法证明时应分: 假设 和 两类. APCBC
3、AP【答案】 课后作业夯基基础巩固 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 【答案】 A 2.要证明 可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( ) 3725A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法 【答案】 B 3.命题“对于任意角 cos sin cos ”的证明如下 :“ sin424cos4(2cossin cos2 .”该过程应用了 ( ) 2sin)(2cos2in)2cos2A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 【答案】 B 【解析】 因为证明过程是“从左往右”,即由条件
4、 结论. 4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60 ”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于 60 【答案】 B 【解析】 命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60 ”,它的反设应是“三角形的内角都大于60 ”. 5.要证: 只要证明( ) 2210abA. B. 42C. 2()10abD. 2【答案】 D 【解析】 因为 . 222(1)0ab6.设 则 ( ) (0)abc1abcA.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小
5、于-2 【答案】 C 【解析】 因为 所以三者不能都大于-2. 116abca7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第一象限的部分上,则log log 的最大值是( ) 2a2bA.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】 B 【解析】 由已知得a+2b=4,且00时,ba 【解析】 要使该不等式成立,则 成立. 3322bab也就是 332即证 整理得ab(a-b)0. 2ab只要ab与a-b同号,上述不等式便成立 . 9.用反证法证明“ 不可能成等差数列”时,正确的假设是 . 35【答案】 假设 成等差数列 10.设a、b、c、d是正数,求证: 下列三个不等式 a+b0,所以4cd(a
6、+ b)(c+d). 结合式,得4cdab+cd, 所以3cdab,即 . 13由式得 2()故 显然不成立. 20ab所以不等式中至少有一个不正确. 11.已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:. 31【证明】 要证原等式成立,只需证 3abc即 cab即只需证 而A+C=2B, 21cbB=60 . . 22a .从而原等式得证. 2 21bcabcabcacc拓展延伸12.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (1)若平面 平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 ; ABC
7、D(2)用反证法证明: 直线ME与BN是两条异面直线. 【解】(1)取CD的中点G,连接MG,NG. 设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 则 . 2MGCDNG因为平面 平面DCEF, AB所以 平面DCEF. 可得 是MN与平面DCEF所成的角. 因为 6所以sin 3N即MN与平面DCEF所成角的正弦值为 . 63(2)证明:假设直线ME与BN共面, 则 平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN. AB由已知,两正方形不共面,故 平面DCEF. AB又ABCD, 所以AB 平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以ABEN. 又ABCD EF,所以EN EF,这与 矛盾,故假设不成立. ENF所以直线ME与BN不共面,即它们是异面直线.
