1、1第十四讲 圆( 一)一、课标下复习指南1圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角2圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形圆具有旋转不变性3圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆4垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧5圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论在同圆或
2、等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等6圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径7点和圆的位置关系设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，则有：点 P 在圆外 dr；点 P 在圆上 dr；点 P 在圆内 dr8直线和圆的位置关系直线和圆的位置 相离 相切 相交图形公共点的个数 0 1 2公共点名称 无 切点 交点直线名称 无 切线 割线圆心到直线的距离d 与半径dr
3、 dr dr2r 的关系9切线的判定切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(会过圆上一点画圆的切线)10切线的性质切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径11切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角二、例题分析例 1 已知：如图 141，在O 中，弦 AB 的中点为 C，过点 C 的半径为 OD图 141(1)若 AB ，OC1，求 CD 的长；32(2)若半径 ODR，AOB120，求 CD 的长分析 圆的半径、弦长的
4、一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题解 半径 OD 经过弦 AB 的中点 C，半径 ODAB(1)AB ，ACBC 323OC1，由勾股定理得 OA2CDODOCOAOC 1(2)ODAB，OAOB，AOD BODAOB120，AOC60 ,2160coscosROACAO.21RDC说明 如图 141，一般的，若AOB2n，ODAB 于 C，OA R，OCh，则 AB2Rsinn2htann;CDRh； 的长 180R3例 2 已知：如图 142，O 中，半径 OA4，弦 BC 经过半径 OA 的中点P，OP
5、C 60，求弦 BC 的长图 142分析 要用好 60角，构造直角三角形在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形解 过 O 作 OMBC 于 M，连接 OC在 Rt OPM 中，OPC60，,21AP.3,M在 Rt OMC 中， .1322OCB例 3 已知：如图 143，ABC 内接于O，BD半径 AO 于 D图 143(1)求证：CABD ；(2)若 BD4.8 ，sinC ，求O 的半径54分析 解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心解法一：(1)过 O 作 OEAB 于 E，连
6、接 BO(如图 144) ，则又 AOEBAC214图 144BDAO ，ABD BAD90又AOEBAD 90，ABDAOEC 在 Rt ABD 中， ,sinABD54iABD设 AD4k，则 AB5k ，BD3k 4.8，k1.6AB8，AE4 ,sinOAE.55解法二：(1)延长 AO 交O 于 C，连接 BC( 如图 145)图 145CC AC为O 的直径，ABC90CBAD 90BADABD90，ABDCC (2)在 RtBDC中， ,siniBD.6804在 Rt ABC中， ,5sinAC设 AB4k，则 AC5k，BC3k6k2 .102O例 4 已知：如图 146 所示
7、，AB 是O 的直径，BAC30，M 是 OA 上一点，5过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且ECFE 图 146(1)求证：CF 是O 的切线；(2)设O 的半径为 1，且 ACCE，求 MO 的长分析 连接 OC，证 OCCF 是证切线的常用方法(1)证明连接 OCAB 是O 的直径，ACB90BAC30，ABC60在 Rt EMB 中， E MBE90，E30EECF，ECF 30ECFOCB90又ECFOCBOCF180，OCF90CF 为O 的切线(2)解 在 RtACB 中，A30，ACB90， ,3230cos
8、BC.1inACCE，BEBCCE .在 Rt BEM 中， E 30，BME90，MBBEsin30 231)31(MO MBOB 2说明 有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法( 此题就如此) ；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径” 三、课标下新题展示例 5 (2008 荆门市)如图 147，O 是 RtABC 的外接圆，AB 为直径，ABC30，CD 是O 的切6线，EDAB 于 F图 147(1)判断DCE 的形状；(2)设O 的半径为 1，且 求证DCEOC
9、B213OF解 (1)ABC30，BAC60又OAOC，AOC 是正三角形CD 是切线，OCD90DCE180609030DCEDEC 而 ED AB 于 F，CED90BAC30故CDE 为等腰三角形(2)证明：在ABC 中，AB2，AC AO1， .3BC21,3OFAOF又AEF 30， .3E.3BCEC而OCBACBACO30ABC ，故CDECOB例 6 如图 148，AB 是 O 的直径，AF 是O 的弦，AE 平分BAF，交O 于点E，过点 E 作直线 EDAF 于点 D，交 AB 的延长线于点 C图 148 图 149(1)求证：CD 是 O 的切线；(2)若 DE4， ，求
10、 AE 的长53sinC解 (1)证明：连接 OE，BF，交于点 G，则 BFAF，BFCDOAOE ，OAE OEAOAEFAE，OEAFAE7OEAF，AFDE ，OECDCD 为O 的切线(2)解：BFDE，OEAF，D 90，四边形 DEGF 为矩形BF2GF 2DE8BFCD，CABF可求得 OAOB5，OG3DFEG 2，AF ABsinC6 .548,82AED说明 (1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件 ，DE 4，集中到一个直角三53sinC角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若 DF2， ，求53sinCAE 的长；(3)第
11、(2)问还可以过 O 作 OMAF 于 M 后得 OMDE4，sinAOM 加i以解决( 构造半径、半弦、弦心距的直角三角形 )例 7 如图 1410，O 的直径 AB4，点 P 是 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点C，连接 AC PM 平分APC 交 AC 于 M图 1410(1)若CPA 30 ，求 CP 的长及CMP 的度数；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，你认为CMP 的大小是否发生变化?若变化，说明理由；若不变化，请求出CMP 的度数；(3)若点 P 在直径 BA 的延长线上，PC 切O 于点 C，那么CMP 的大小是否变化?请直接写出你的结论提示 (1)当题目条件中
12、有 “PC 切O 于点 C”时，可连接半径 OC，利用切线的性质得出OCP90，这也是解题的基本方法解 (1)连接 OC，则OCP 90OAOC，COP2 CAP60 ,3260tan160tan ABOCP.3PM 平分CPA，)90(21COPCPAM8.15)609(21CMPCAPMPA45(2)设CPA ，PM 平分CPA，.21CPAMOCP90，COP90 又OAOC， ).90(1CMPCAPMPA .452)90(21(3)CMP 的大小_，并且CMP_(请读者自己填写)说明 本题是将株洲市 2008 初中毕业学业考试中的 21 题做了适当改编得到的一方面第(1)小题增加了求
13、CMP，为第(2)小题做了铺垫；另一方面添加了第(3)小题，让读者研究点 P 在直径 BA 的延长线上的条件下，相应CMP 的结论解第(2)小题时，引用“设CPA ”这一方法，用代数方法计算得出结论，减少了解题的难度三、课标考试达标题(一)选择题1在ABC 中，C90，AC4，BC3，CDAB 于点 D，若以 C 为圆心，2.3cm为半径作O，则点 D 与O 的位置关系是( )A点 D 在O 外 B点 D 在O 上C 点 D 在O 内 D无法确定2如图 1411，有一圆弧形桥拱，拱形的半径 OA10m，桥拱的跨度 AB16m，则拱高CD 为( )图 1411A4m B6m C8m D10m3如
14、图 1412，AB 是O 的直径，若C26，则ABD 等于( )图 1412A36 B38 C52 D644如图 1413，P 是O 外一点， PA，PB 切O 于点 A，B，点 C 在优弧 AB 上，若P68，则ACB 等于( )9图 1413A22 B34 C56 D685如图 1414，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若 O 的半径 ，23rAC2，则 cosB 的值为( )图 1414A B C D23352532(二)填空题6若圆外一点到圆的最大距离是 18cm，到圆的最小距离是 5cm，则圆的半径是_7如 图 14 15， 在 ABC 中 ， AD BC 于 点 D，
15、AE 是 ABC 外 接 圆 的 直 径 ， 则 图 中 与 BAE 相等的角是 _图 14 158在ABC 中，C90，AB5cm，BC 3cm，若以 A 为圆心，4cm 为半径作A，则直线 BC 与A 的位置关系是_9如图 1416，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，A 与 x 轴相切于 B，与 y 轴交于 C(0，1)，D(0，4) 两点，则点 A 的坐标是_图 14 1610已知：如图 1417，O 的半径为 3cm，B 为O 外一点， OB 交O 于点A，ABOA，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P 运动的时间为
16、_s 时，BP 与O 相切10图 14 1711(2006 宁波)已知BAC 45，一动点 O 在射线 AB 上运动(点 O 与点 A 不重合) ，设OAx ，如果半径为 1 的O 与射线 AC 只有一个公共点，那么 x 的取值范围是_(三)解答题12如图 1418，M 是 的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为 4cm，cm34N图 14 18(1)求圆心 O 到弦 MN 的距离；(2)求ACM 的度数13如图 1419，在平面直角坐标系中，以点 M(0， )为圆心，以 长为半径作M332交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，连接 AM 并延长交 M 于 P 点，连接 PC交 x 轴于 E 点图 14 19(1)求出 CP 所在直线的解析式；(2)连接 AC，求ACP 的面积14如图 1420，梯形 ABCD 中，ABCD，AB2cm ，CD4cm，以 BC 上一点 O 为圆心的O 经过 A，D 两点，且AOD90，求圆心 O 到弦 AD 的距离
