1、1第十五讲 圆(二)一、课标下复习指南1圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义(2)请看表 151：表 151两圆的位置 图形 圆心距 d 与两圆的半径 R、r 的关系外离 dRr外切 dRr相交 RrdRr(Rr)内切 dRr(R r )内含 0dR r (R r)2正多边形和圆(1)基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的中心角、正多边形的边心距(2)正多边形的有关计算如图 151，设正 n 边形的中心角为 ，半径为 R，边长为 an，边心距为 rn，周长为Pn，面积为 Sn，则由图形的有关性质可以推得：图 151 ;18036
2、n正 n 边形的一个内角为 ;80)2(n正 n 边形的中心角与外角相等； ;1cos;180si2RrnRa ;4naPr2nnnarPrS21已知：正 n 边形的边长为 a，请填写表(152) ：表 152正 n 边形 n3 n4 n6图形中心角半径边心距周长面积已知：正 n 边形的半径为 R，请填写表 153表 153正 n 边形 n3 n4 n6图形中心角边长边心距周长面积3与圆有关的计算(1)圆的周长 C2R (2)弧长 180nl(3)圆的面积 SR 2(4)扇形面积 S 扇形 (其中 l 为扇形的弧长).136lR4与圆有关的作图(1)过不在同一直线上的三个点作圆(2)作三角形的
3、内切圆(3)等分圆周(三、六、十二、四、八、五等分)，作正三角形、正四边形、正六边形等5圆锥的侧面积和全面积(1)圆锥的侧面积：S 圆锥侧 (l2r，R 是圆锥母线长， r 是圆锥的底面半径) 1(2)圆锥的全面积：S 圆锥全 S 圆锥侧 S 圆锥底 二、例题分析例 1 已知：如图 152，水平地面上有一面积为 30cm2 的扇形 AOB，半径OA6cm ，且 OA 与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直3为止，求 O 点移动的距离图 152解 观察图形可知 O 点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧 的弧长 ,21RlS630l (cm)1答：O 点移动的
4、距离为 10cm例 2 (1)如图 153(a)，扇形 OAB 的圆心角为 90，分别以 OA，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和 Q 分别表示阴影部分的面积，那么 P 和 Q 的大小关系是( )图 153(a)APQ BPQC PQ D无法确定(2)如图 153(b)，ABC 为等腰直角三角形，AC 3，以 BC 为直径的半圆与斜边 AB交于点 D，则图中阴影部分的面积是 _ 图 153(b)(3)如 图 15 3(c)， AOB 中 ， OA 3cm， OB 1cm， 将 AOB 绕 点 O 逆 时 针 旋 转90到 AOB，求 AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留)图 153
5、(c)分析 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法4等，有时也需要运用变换的观点来解决问题解 (1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：PS 扇形 OAB 2S 半圆 OCAQ ;)1(4R(2)(转化法 “凑整 ”)利用 S 弓形 BmDS 弓形 CnD，则阴影部分的面积可转化为ACD 的面积，等于ABC 面积的一半，答案为 ；49(3)(旋转法 )将图形 ABM 绕点 O 逆时针旋转到 ABM位置，则S 阴影 S 扇形 AOA S 扇形 MOM.2412MO例 3 如图 154，梯形 ABCD 中，AD BC，C90 ，ABAD4
6、，BC6，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分) ，求阴影部分的面积及扇形的弧长图 154解 设切点为 E，连接 AE，则 AEBC CD90，四边形 ADCE 是矩形CEAD4BC6，BE2 ,1ABEBAE 30，AE .32DAB120 .460)(1S382l三、课标下新题展示例 4 如图 155，点 A，B 在直线 MN 上，AB11 厘米， A、B 的半径均为 1 厘米A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r(厘米) 与时间 t(秒) 之间的关系式为 r1t(t0)图 1555(1)试写出点 A，B 之间的距离 d(厘米) 与
7、时间 t(秒)之间的函数表达式；(2)问：点 A 出发后多少秒时两圆相切?解 (1)函数表达式为.)5(12,0ttd(2)两圆相切可分为如下四种情况：当两圆第一次外切，由题意可得 112t1(1t )，其中 0t5.5，解得 t3；当两圆第一次内切，由题意可得 112t(1t )1，其中 0t5.5，解得 1当两圆第二次内切，由题意可得 2t11(1t )1，其中 t5.5，解得 t11；当两圆第二次外切，由题意可得 2t11(1t )1，其中 t5.5，解得 t13所以，点 A 出发后 3 秒、秒、11 秒、13 秒时两圆相切四、课标考试达标题(一)选择题1如果两圆只有一个公共点，那么这两
8、圆的位置关系是( )A外切 B内切C 外切或内切 D外离或内含2如果两圆的半径分别为 6cm 和 4cm，圆心距为 8cm，那么这两个圆的位置关系是( )A外离 B外切 C相交 D内切3若一个正多边形的内角和是它的外角和的 4 倍，则这个正多边形的边数为( )A4 B5 C6 D104扇形的弧长为 4cm，半径为 6cm，则圆心角为( )A60 B90C 120 D1505如图 156，有一圆心角为 120，半径长为 6cm 的扇形，若将 OA，OB 重合后围成一圆锥，那么圆锥的高是( )图 156A Bcm24 cm35C D626如果扇形的圆心角为 150，它的面积为 240cm2，那么扇
9、形的半径为( )A48 B6 C12 D247下列说法不正确的是( )A若两圆有且只有两个公共点，则这两圆相交B若两圆有唯一公共点，则这两圆相切C若两圆没有公共点，则这两圆外离6D若两圆有三个公共点，则这两圆重合8如图 157，有六个等圆按图(a)、(b)、(c) 三种样式摆放，使相邻两圆互相外切，圆心连心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为 S，P ，Q ，则 ( )图 157ASPQ BSQP CSPQ DSPQ(二)填空题9我国国旗上的正五角星的一个锐角是_10如图 158，当半径为 30cm 的转动轮转过 120角时，传送带上的
10、物体 A 平移的距离为_cm图 15811如图 159，扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1，则这个圆锥的底面半径为_图 15912如图 1510，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第 n 个内切圆，则第 n 个内切圆的半径是_图 1510(三)解答题13如图 1511，在长方形 ABCD 中，AB3，BC1，E 在 AB 上，AE2分别以E，B 为圆心，以 2 为半径画圆弧交 DC 于 F，G ，交 AB 于 A，H 7图 1511(1)求四边形 BEFG 的面积；(2)求由 和 两段圆弧及线段
11、AH，FG 所围成的阴影部分的面积14如图 1512，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90的扇形，直角顶点在圆上图 1512(1)求这个扇形的面积(结果保留 )；(2)在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由(3)当O 的半径 R(R0)为任意值时， (2)中的结论是否依然成立?请说明理由8参考答案第十五讲 圆(二)1C 2C 3D 4C 5A 6D7C 8D 936 1020 11 212 .)(Rn13解：(1)F 到 AB 的距离AD1，AEF 30同理，EBGAEF30EFBG S BEFG1 11(2)S 阴 S 扇形 AEFS BEFGS 扇形 HBGS BEFG114解：(1)如答图 153，连接 BC，由勾股定理求得答图 151,2ACB360)(92RnS.21(2)连接 AO 并延长，与弧 BC 和O 交于点 E，F ，则 EFAFAE， 的长.21809Rn设底面圆半径为 r ，圆锥的底面直径为 2r r ,不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥(3)设大圆半径为 R，由勾股定理求得 ABAC ,2R的长 .2180)(99,2Rr圆锥的底面直径为 .2r.)(RAEF ，且 ，20R.)(即无论半径 R 为何值，EF 2r不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥
