1、第5章 离散时间信号的傅立叶变换,The Discrete-Time Fourier Transform,注释:,CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数,DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数,CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换,DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换,一.离散时间傅里叶级数（DFS） Discre
2、te-Time Fourier Series,考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的。,3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示,补充,离散时间傅里叶级数（DFS），其中 也称为周期信号 的频谱。,将这 N 个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以 N 为周期的序列。即：,因为,也是以N 为周期，只有N 个是独立的。,周期性方波序列的频谱,显然 的包络具有 的形状。,时,周期性方波序列的频谱,周期性方波序列的频谱,周期性方波序列的频谱,当 不变、 时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。 当 改变、 不变时，由于 的
3、包络具有 的形状，而 ，可知其包络形状一定发生变化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。,周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。,周期性方波序列的频谱,DFS的收敛,DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。,5.1 非周期信号的表示,Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform,一. 从DFS到
4、DTFT:,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到： 当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。,离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱,以N为周期,因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。,当 时，有 ，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。,从时域看，当周期信号的周期 时，周期序列就变成了一个非周期的序列。,当 时 令,对周期信号 由DFS有,即,当 在一个周期范围内变化时， 在 范围变化，所以积分区间是 。,将其与 表达式比较有,于是:,表明:离散时间序列可以分解为频率在2区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。,DTF
5、T对,3.矩形脉冲:,两点比较:,1.与对应的周期信号比较,2.与对应的连续时间信号比较,如图所示:,5.2 周期信号的DTFT,对连续时间信号，有 由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以 为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即,对其做反变换有：,The Fourier Transform for Periodic Signals,可见,由DFS有,因此，周期信号 可用DTFT表示为,（对L 展开）,比较: 可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。,注意到 也以 为周期，于是有：,例2.,比较:与连续时间情况下对应的相一致。,七. 时域内插
6、( Interplation ):,信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。,七. 时域内插 ( Interplation ):,5.7 对偶性（Duality）,由于 本身也是以N为周期的序列，当然也可以将其展开成DFS形式。,一.DFS的对偶,即:,或,利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。,二. DTFT与CFS间的对偶,由DTFT有：,5.7 对偶性（Duality）,利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去；或者反之。,可以将对偶关系归纳为如下图表:,5.7 对偶性（Duality）,时域的连续性,可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：,时域的周期性,时域的离散性,时域的非周期性,频域的离散性,频域的连续性,频域的周期性,频域的非周期性,5.7 对偶性（Duality）,
