1、 数学系数学与应用数学专业 09 级年论文（设计） 第 1 页 （共 5 页）例谈数形结合思想在中学数学中的应用摘要:数形结合，常常能为合理解决有关问题提供一条简便的思路，它有助于探求问题途径、避繁就简、巧妙地得出结论，是提高问题解决能力的一个重要手段。本文通过数形结合思想直观、简捷地解决了中学数学中的某些问题。Abstract: the combination of number and shape, often to solve issues related with a simple idea, and it helps to explore the pathway, avoid num
2、erous brief, skillfully draw the conclusion, is to improve the ability to solve problems is an important means of. This article through the number shape union thought intuitive, simple to solve some problems in middle school mathematics.关键词: 数形结合； 解题； 应用 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，使抽象思维和形象思维有机
3、地结合。在数学中，数形结合思想可化抽象为直观，便于学生理解和掌握相关的数学内容，因而其应用较为广泛。下面，本文就几类典型的问题分别探讨如下：1、数形结合在不等式中的运用（1）解不等式解不等式在中学数学中是较常见的题型，但是对于有些不等式（如：含有根式、绝对值等式子的不等式）如果用一般解不等式的方法，在求解时，经常要进行繁杂的分类讨论，这样不但易出错，而且浪费时间。而数形结合的方法巧妙的避开了这一繁杂的过程，直观、简洁的解决了此类复杂的不等式问题，为解不等式提供了一条新途径。如下例例 1 解不等式 32x1分析：对于不等式 我们考虑如果用一般的代数方法，那么必须要对 分情况考虑，并兼顾使 有意义
4、的 的取值范围，而且在解1x 32xx题过程中还要对原不等式两边进行平方。显然如此是繁杂易出错的，但是如果考虑构建两个函数 与 ，然后利用函数的图像，通过)(xf 1)(观察在同一坐标系下两函数的图像即可的出答案。解:设 , ,从而在同一直角坐标系下,可作出)(xf32)(的图形(如图 1)(xf，数学系数学与应用数学专业 09 级年论文（设计） 第 2 页 （共 5 页）由图可知,要 )(xf须 23即不等式 的解集为1 x23图 1(2)证明不等式中学数学中不等式的证明是一个难点。对于较简单的不等式的证明，利用两个重要的不等式及其推导公式即可证明。但对于有些较复杂的不等式，如不等式 ，22
5、2222 )1()()1()( bababab (0,1)b,a,两个重要的不等式就显的无能为力了，而且如果我们考虑用其他的代数方法，显得无处入手，那么我们观察不等式的结构，不难发现每个根式都与平面上点的距离的公式相似。那么我们就很自然的想到利用平面直角坐标系上任意两点的距离来证明该不等式。下面本文就用这种方法来证明该不等式。例 2 已知 (0,1)b,a求证： 222222 )1()()1()( babab证明:如图 2,建立直角坐标系,设 A(1,0),B(1,1),C(0,1);P 为正)(，a方形 ABCO 内任一点,则 ，且(0,)a|PO|= 2b|PA|= )1(|PB|= 22
6、a|PC|= )(b根据“三角形的两边之和大于第三边”,有:|PO|+|PB|OB|PA|+|PC|AC|所以,|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|数学系数学与应用数学专业 09 级年论文（设计） 第 3 页 （共 5 页）而|OB|=|AC|= 2故 2222 )1()()1()( bababab 图 22、数形结合在二次方程中的运用关于二次方程的实根分布问题可利用韦达定理，联立不等式组进行求解。此法虽常用，但是运算量较大。我们知道二次方程与二次函数间的关系十分密切。因此在讨论二次方程的实根分布时，可借助二次函数的图象分析题设和结论,直观而简捷地求解。比如下例。例 3 已知
7、二次方程 有两个正根,求 的012axa )0(aR， a取值范围.解 设 )(2xf )(由题设可知,二次函数 的图象与 轴的交点落在 轴的正半轴上,如图)xfxx3 )(ba，图 3（a）数学系数学与应用数学专业 09 级年论文（设计） 第 4 页 （共 5 页）图 3（b）所以有（）021)(0)(402 afaa或 ()021)(0)(42 afa解不等式组()得 2,不等式组()的解集为空集,所以 的取值范a a围是 21例 4 设函数 若 试讨论关)10()1log)(1(log)( axxxf aa ， Rk于 方程 的实数解的个数;xakxg)1(2解:从题设有 )(l(fa)
8、(k2o)(2 x21 x akxa)1(lg2(log 即 2作函数图象 与 如图 4,由图形知12xy)2( xky)1(当 1 或 时无解k当 或-1 时有一解k当-2 时,有二解1图 43、数形结合在求最值中的运用数学系数学与应用数学专业 09 级年论文（设计） 第 5 页 （共 5 页）中学数学中最常见的最值问题是给出几个未知量的范围与一个关于这些未知量的解析式求最值（最大值与最小值）问题。对于这类题目的解答通常用的是数形结合求解。例如下例例 5 设|a| , ,试求 的最小值.20b292)()(baba观察可知: 是圆 上的一点, 是等轴双曲线)(a， x2y)(9b，上一点,而
9、解析式 表示分别在两曲线上动点9xy 29)(b与 间距离的平方。如图 5 从对称性知:直线 与两曲线交点)2(a， )(9b， xyA(1,1),B(3,3)间距离最短,因此最小值为|AB| =82图 5以上各题的简捷解法得力于数形结合,从而说明了数与形本是相互依存。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微” 。数形结合,直观又入微,不少精巧的解题方法正是数形结合的产物。数形结合的例子是较多的,但从举过的例子就足以说明,虽然代数、几何各有其特点和思考问题的方法,但完全有可能也有必要把这些学科的知识联系起来。因此,学会一些数形结合的基本思路和方法,就能把所学的知识有机地统一起来,为牢固掌握和灵活应用打下坚实的基础。参考文献1吕林根.许子道.解析几何(第三版)M.北京.北京高等教育出版社.1999.2朱德祥.初等几何研究M.北京.北京高等教育出版社.1985.3人民教育出版社数学室.初中数学教材分析与研究M.北京.北京人民教育出版社.2006.4陈镇遂.重视数形结合提高解题能力J.中学数学教学.2004.5何伟华.初中数学教学必须重视数形结合J.中学数学研究.2001
