1、八年级勾股定理水平测试（1）一、试试你的身手（每小题 3 分，共 24 分）1三角形的三边满足 a2b2c2，这个三角形是 三角形，它的最大边是 2在直角三角形 ABC 中， C90，BC24，CA 7，AB 3在ABC 中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 4如图 1 所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，正方形 A，B，C 的面积分别是 8cm2，10cm 2，14cm 2，则正方形 D 的面积是 cm25如图 2，在ABC 中， C90，BC 60cm ，CA80cm，一只蜗牛从 C
2、点出发，以每分钟 20cm 的速度沿 CAABBC 的路径再回到 C 点，需要 分钟的时间6已知 x、y 为正数，且x 2-4+(y 2-16)20，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 7在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为 2.5米的梯子，要想把拉花挂在高 2.4 米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上） ，小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处8如图 3 是 2002 年北京第 24 届国际数学家大会会徽，由 4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为 52 和 4，
3、则直角三角形的两直角边分别为 和 （注：两直角边长均为整数）二、相信你的选择（每小题 3 分，共 24 分）1下列各组数为勾股数的是（ ）A6，12，13 B3， 4，7 C4，7.5，8.5 D8，15，162要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物 5m，顶端离地面 12m，则梯子的长度为（ ）A12m B13m C14m D15m3直角三角形两直角边边长分别为 6cm 和 8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）A10cm B3cm C4cm D5cm4若将直角三角形的两直角边同时扩大 2 倍，则斜边扩大为原来的（ ）A2 倍 B3 倍 C4 倍 D5 倍5下列说法中， 不正确
4、的是（ ）A三个角的度数之比为 134 的三角形是直角三角形B三个角的度数之比为 345 的三角形是直角三角形C三边长度之比为 345 的三角形是直角三角形D三边长度之比为 94041 的三角形是直角三角形6三角形的三边长满足关系：(a+ b)2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形7某直角三角形的周长为 30，且一条直角边为 5，则另一直角边为（ ）A3 B4 C12 D138如果正方形 ABCD 的面积为 29，则对角线 AC 的长度为（ ）A B C D29239三、挑战你的技能（共 60 分）1 （10 分）如图 4，你能计算出各直角
5、三角形中未知边的长吗？2 （10 分）如图 5 所示，有一条小路穿过长方形的草地 ABCD，若AB60m，BC84m，AE 100m，则这条小路的面积是多少?3 （10 分）如图 6，在ABC 中，BAC 120 ， B30，AD AB，垂足为A，CD1cm，求 AB 的长 4 （10 分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5 （10 分）如图 7，在ABC 中，ABAC 25，点 D 在 BC 上，AD 24，BD7，试问AD 平分BAC 吗？为什么？6 （10 分）如图 8 所示，四边形 ABC
6、D 中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且 ABBC求证：AC CD四、拓广探索（本题 12 分）观察下列各式，你有什么发现？3245，5 21213，7 22425，9 24041，这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：13 2 + ；（2）请写出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性参考答案：一、1直角， 225 3108 417 512 620a70.7 84，6二、14CBDA 58BBCA三、1 （1） ；（2）5x4x2 20m3 c4略5所以 平分 ，理由略ADBC6证明略四、 （1）84，85（2）任意一个大于 1 的奇数的平方可以
7、拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数（3）略八年级勾股定理水平测试一、试试你的身手（每小题 3 分，共 24 分）1一个三角形的三个内角之比为 123，则三角形是 三角形；若这三个内角所对的三边分别为 a、b、c（设最长边为 c） ，则此三角形的三边的关系是 2已知等腰直角三角形的斜边长为 2，则直角边长为 ，若直角边长为 2，则斜边长为 3在 RtABC 中，C90， 若 AB41，AC9，则 BC ； 若AC1.5，BC2，则 AB 4已知两条线段的长分别为 11cm 和 60cm，当第三条线段的长为 cm 时，这 3 条线段能组成一个直角三角形 5如图 1，
8、将一根长 24 厘米的筷子，置于底面直径为 6 厘米，高为 8 厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米6如图 2，ACCE，ADBE13，BC5，DE 7，那么 AC 7等腰直角三角形有一边长为 8cm，则底边上的高是 ，面积是 8如图 3，一个机器人从 A 点出发，拐了几个直角的弯后到达 B点位置，根据图中的数据，点 A 和点 B 的直线距离是 二、相信你的选择（每小题 3 分，共 24 分）1如图 4，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的面积为（ ）A4 B8 C16 D642小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50 米，小
9、丽走直线用了 10 分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了 6分钟，从家到图书馆用了 8 分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线） （ ）A锐角 B直角 C钝角 D不能确定3一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长（ ）A18cm B20cm C24cm D25cm4如图 5，四边形 ABCD 是正方形，AE 垂直于 BE，且 AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）A16 B18 C19 D215在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为 18、8，则较长直角边的长为（ ）A20 B16 C12 D8
10、6在ABC 中，若 AB15，AC 13，高 AD12，则ABC 的周长是（ ）A42 B32 C42 或 32 D37 或 337如图 6，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）ACD、EF 、GH BAB 、EF、GHCAB 、CD、GH DAB、CD、EF8如图 7，在ABC 中， C90，D 为 BC 边的中点，DEAB 于 E，则 AE2-BE2 等于（ ）AAC 2 BBD 2 CBC 2 DDE 2三、挑战你的技能（共 58 分）1 （11 分）一个三角形三条边的比为 51213，且周长为 60cm，求它的面积
11、2 （11 分）在数轴上作出表示 的点293 （12 分）如图 8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB3cm，BC12cm，CD13cm，AD4cm，东东由此认为这个四边形中 A 恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断A 是直角？4 （12 分）如图 9，一游泳池长 48 米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为 3 米/秒，小朱为 3.1 米/秒但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距 14 米按各人的平均速度计算，谁先到达终点?5 （12 分）如图 10
12、（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2）所示已知展开图中每个正方形的边长为 1求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题 14 分）已知：在 RtABC 中，C90 ，A、 B、C 的对边分别为 a、b、c，设ABC 的面积为S，周长为 l（1）填表：三边 a、 b、c abc Sl3、4、5 25、12、13 48、15、17 6（2）如果 abcm ，观察上表猜想： (用含有 m 的代数式表示)Sl（3）证明（2）中的结论参考答案：一、1直角， 21，2 340，2.5 461 或22abc 379 514 612 74 或
13、4，16 或 810二、14DBDC 58CCBA三、1 20cm2图略3不正确，可添加 或DBC5cm4小方先到达终点5最长的线段长为 这样的线段可画 4 条10四、解：（1）从上往下依次填 ， ， ；213（2） ； （3）证明略4SmlWw w.x kb 点击勾股定理之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏一. 清新扮靓的规律探究题例 1（成都市）如图，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD 的面积为 1，按上述方法所作的
14、正方形的面积依次为 ， （n 为正整数） ，那么第S 23S，A BCDEFGHIJ8 个正方形的面积 _8S【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：， 21S22()S348照此规律可知： ， 新 课 标第 一网2516观察数 1、2、4、8、16 易知： ，于是可知01234,4,8,162nS因此， 8172二. 考查阅读理解能力的材料分析题例 2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知 a、b、c 为 的三边，且满足 ，试判断 的
15、形ABCacba224ABC状解： ab224()222()()ABCcabB是 直 角 三 角 形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： （3）本题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目集中考查了因式分解、勾股定理等知识在由 得到等acba224式 没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式2222()()cabab子 若 ，则有 ，从而得 ，这时， 为等腰0()0aABC三角形因此：（1） 选 C（2） 没有考虑 20ab(3) ABC是 直 角 三 角 形 或 等 腰
16、三 角 形三. 渗透新课程理念的图形拼接题例 3（长春）如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = 4， BC = 3在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长 （请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用 0.5 毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图 备用图 【解析】：要在 RtABC 的外部拼接一个 合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识下面四种拼接方
17、法可供参考四. 极具“热点 ”的动态探究题例 4（泉州）:如图，一架长 4 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾斜角 为 60求 AO 与 BO 的长；若梯子顶端 A 沿 NO 下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行 . 如图 2，设 A 点下滑到 C点，B 点向右滑行到 D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A 沿 NO 下滑多少米?X k b1.c o m【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，30那么它所对的直角边等于斜边的一半”，
18、结合勾股定理求解，还是容易解答的 中,O= ,=AOBRt906,OAB= ，又 4 米，3 米.12由勾股定理得： （米）.2AOB24123设 在 中,3,ACxBDCRt2Ox根据勾股定理: 22 - 4 213830xx 012 所以， AC=2x=16324即梯子顶端 A 沿 NO 下滑了 米. 634勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例 1 如图 1，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去（1）记正方形 ABCD 的边长为 1a1，依上述方法所作的正方形的边长依次为 2a， 3， 4， n，求出 2， 3a， 4的值（2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 n的表达式分析：依次运用勾股定理求出 a2，a 3，a 4，再观察、归纳出一
