1、前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 _，其中区域 由直线yxyxDd1)ln()( D与两坐标轴所围成三角形区域.yx2设 是连续函数，且满足 , 则)(f 20d)(3)(xff_.3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz zyx4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且)(29ln)(yfef，则 _.1f2dx二、 （5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数.xenxx )(lim20三、 （15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，)f10d(tfgAxf)(lim0求 并讨论 在
2、处的连续性.)(xg(g四、 （15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，,|),(yxyDLD试证：（1） ；LxyLxy eex ddsinsinsinsin（2） .2sisi 5yy五、 （10 分）已知 ， ， 是某二阶常xe21xexxey23系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该cbayln2100y抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋x1x31cbax转一周而成的旋转体的体积最小.七、 （15 分）已知 满足 , 且 , 求函)(un )2()(1nexunn neu)1(数项级数
3、 之和.1nx八、 （10 分）求 时, 与 等价的无穷大量.02nx2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设 其中 求22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx（2）求 。 （ 3）设 ，求 。2limxxe0s0(1,2)sxIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。()ft 2,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()f,)且存在一点 ，使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx三、 （15 分）设函数 由参数方程 所确
4、定，其中 具有二阶()yf2(1)xtyt导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。t213tuedt()t四、 （15 分）设 证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；（2）当 且 时，级数 发n1()ns1naS散。五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均匀椭球l(,)22)，其中（ 密度为 1）绕 旋转。221xyzabc0,cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)六、(15 分) 设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲()x C线积分 的值为常数。42cydA（1）设 为正向闭曲线 证明 （2
5、）求函数 ；L2()1,xy42()0;cxydA()x（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。C42()cxydA2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求 ；（2）.求 ；1cos0inlmxx11lim.2nn（3）已知 ，求 。2l1arctttey2dyx二 （本题 10 分）求方程 的通解。410dy三 （本题 15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为 0，证明：存在唯一一组实数 ，使得“0,ff 23,k。1230limhkhkff四 （本题 17 分）设
6、，其中 ，221:1xyzabc0abc， 为 与 的交线，求椭球面 在 上各点的切平面2:zxy21到原点距离的最大值和最小值。五 （本题 16 分）已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面230xz的上半部分（ ）取上侧， 是 S 在 点处的切平面，0z,P是原点到切平面 的距离， 表示 S 的正法向的方向余弦。,xy计算：（1） ；（2）,Szd3Szxyzd六 （本题 12 分）设 f(x)是在 内的可微函数，且,，其中 ，任取实数 ，定义fxmf、 010a证明： 绝对收敛。1ln,.a1n七 （本题 15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 f(x)，满足0,2， ？请说明理由。021ff11fxfxd、
