1、1幂函数一定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别在下列函数中，哪些是幂函数 .（1） （2） （3） 2xy23xyxy（4） （5） （6）13 0二图象幂函数的图象和性质；由 d 取值不同而变化，如图如示：三 幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在 都yx yx 2 yx 3 yx yx 1定义域 R R
2、 R x|x R 且 x0值域 R R y|y R 且 y0奇偶性 奇 偶 奇非奇非偶奇单调性 增x0， )时，增x( ，0时，减增 增x(0，)时，减x(，0)时，减定点 （0,0） ， （1,1） （1,1）2有定义，并且图象都通过点 . (3)单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴.(4)奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质， 和 )，（如图）pqx如：当 时，幂函数是 ；当 时，幂函数是 2,a 1,3a(5)图象特征：幂函数 ，当 （下凸）时，若
3、 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方；当 （上凸）时，若 ，其图象在直线 上方，若 ,其图象在直线 下方.知识梳理1概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别2.性质：3（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；（2）当 时，幂函数在 上 ；当 时，幂函数在 上 0a0,)0a(0,)；（3）当 时，幂函数是 ；当 时，幂函数是 2, 1,3基础练习(1). 下列函数中不是幂函数的是（ C ）A B C Dyx3yx2yx1yx(2). 下列函数在 上为减函数的是（ ）答案：B,0A B C D13yx2yx3yx2
4、yx(3). 下列幂函数中定义域为 的是（ ）答案： D0A B C D 23yx32yx23yx32yx典型例题求定义域例 1 求下列函数的定义域：（1） （2） （3） （4）3yx56yx45yx32yx练习：求代数式 有意义的取值范围.31-）（ x解析： ，要使 有意义，只需 ，31-|）（ 31-）（ x01-x则 ，x，-启示：要善于与已学过的知识联系，解决新问题，同时也是善于将新概念理解为已学过的知识的拓展。比较大小例 2 比较大小：4（1）12.5,7（2） 33(1.),.25)（3） 12.,5.6,.（4）30.3log.解：（1）12yx在 0,)上是增函数， 1.5
5、7，12.57（2） 3在 R上是增函数， .2， 33()()（3） 1yx在 (,)上是减函数， .6， 11.6； 5.6是增函数， ， 125.；综上， 112.2.5.6 （4） 30.， 0.， 3log.0，.53log练习：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2233.5,(1.4),（2）338420.16,.5（3）2(),(解：（1）2233(1.4).5)（2） 8246016,（3）211333()()5小结与拓展：在解决比较大小的问题时常用到幂函数图像及性质利用单调性解不等式例 3 若 ，试求实数 m 的取值范围11()(32)m解析：（分类讨论）：（1） 解得
6、 ；0321，32d（2） 此时无解；0321m，5（3） ， 解得 1032m1m综上可得 23()，变式：若 ，试求实数 m 的取值范围33(1)解析：（利用单调性）：由于函数 在 上单调3yx()， 递增，所以 ，解得 132m2练习：根据幂函数的单调性求下列各式中参数 的范围a(1) (2) (3)435.0a3232)4()a22)3()1(性质的综合运用例 4 已知幂函数23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值解：幂函数23m（ ）的图象与 轴、 轴都无交点， 20， 1； Z， 2(3)Z，又函数图象关于原点对称， 2m是奇数， 0m或 2练习：
7、1 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上的39* yxN y0,单调递减，求满足 的 得取值范围。221aa答案： =3（ ）2 已知函数 为偶函数，且 ，求 m 的值，并23()()mfxZ(3)5f确定 的解析式()f分析：函数 为偶函数，已限定了 必为偶数，23()()mf 23且 ， ，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定mZ35f的解析式()fx解： 是偶函数， 应为偶数()fx236又 ，即 ，整理，得 ，(3)5f22335mm2315m， 20m1又 ， 或 1Z当 m=0 时， 为奇数（舍去） ；当 时， 为偶23m1m23m数故 m 的值为 1， 2()fx
8、评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础3 已知函数 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于23nyx()Zy 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象解：因为图象与 y 轴无公共点，故 ，又图象关于 y 轴对称，230n则 为偶数，由 ，得 ，又因为 ，所以2n230n 1 nZ013，当 时， 不是偶数；2n当 时， 为偶数；4当 时， 为偶数；30当 时， 不是偶数；2当 时， 为偶数；3nn所以 n 为 ，1 或 3此时，幂函数的解析为 或 ，其图象如图所示0()yx4yx【同步练习】1.下列命题中正确的是（ ）A.当
9、n=0 时，函数 y=xn的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数 y=xn的图象关于原点对称，则 y=xn在定义域内 y 随 x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限72. 下列函数中不是幂函数的是（ ）答案： yx3yx2yx1yx3. 下列函数在 上为减函数的是（ ）答案：,0 13yx2yx3yx2yx4. 下列幂函数中定义域为 的是（ ）答案：0 23yx32yx23yx32yx5函数 y（ x22x） 的定义域是（ ）1Ax|x0 或 x2 B （，0） （2， ）C （ ，0） 2， D （0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域
10、答案：B6函数 y（ 1x 2） 的值域是（ ）1A 0， B （0，1） C （0，1） D 0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令 t1x 2，则 y t1x 1，0 t1，0y 1答案：D7函数 y 的单调递减区间为（ ）52xA （，1） B （，0） C 0， D （，）解析：函数 y 是偶函数，且在 0，）上单调递增，由对称性可知选52xB8若 a a ，则 a 的取值范围是（ ）21Aa1 Ba0 C1a0 D 1a0解析：运用指数函数的性质，选 C9.下列函数中，在其定义域内值域为 的函数是 （ ）,A、 B、 C、 D、2xyxy1 )2lg(xy1xy810函数
11、 y 的定义域是 。32)15(x解析：由（152x x 2） 30152xx20 3x 5答案：A11.讨论函数 的定义域，奇偶性，画出草图，并根据图象指出函数的12.已知函数 ， 为何值时， 是1m22x)()xf)x(f（1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数13 已知函数 为偶函数，且 ，求 m 的值，并确定23()()mfxZ(3)5f的解析式()fx分析：函数 为偶函数，已限定了 必为偶数，23()()mf 23且 ， ，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定mZ35f的解析式()fx解： 是偶函数， 应为偶数()fx23又 ，即 ，整理，得 ，352235mm2315m， 20m1又 ， 或 1Z当 m=0 时， 为奇数（舍去） ；当 时， 为偶23m1m23m数故 m 的值为 1， 2()fx评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础
