1、3.1 平行四边形与中心对称图形一、目标认知学习目标： 1综合运用平行四边形的特征和识别方法进行计算及画图，初步学会简单的说理；2会利用平行四边形的特征进行平行四边形面积的计算3认识平行四边形的特征和识别方法的联系，从而获得解决问题的能力和经验；4以一题多变的方式体会用运动、变换的观点看待问题，解决问题重点： 探索平行四边形的性质。难点： 平行四边形性质的理解。二、知识要点梳理知识点一：平行四边形的定义、表示方法1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。即在四边形ABCD 中，若有 ABCD，ADBC，则四边形 ABCD 是平行四边形。2平行四边形的表示：平行四边形用符号“
2、”表示，如平行四边形 ABCD， 记作：“ ABCD”读作：“平行四边形 ABCD”。3相关概念：在平行四边形中,相邻的边、角分别简称为邻边、邻角；不相邻的边、角分别称为对边、对角.知识点二：平行四边形的性质1从边看：平行四边形两组对边平行且相等。即若四边形 ABCD 是平行四边形，则有AB=CD 且 ABCD， AD=BC 且 ADBC；2从角看：平行四边形邻角互补，对角相等。即若四边形 ABCD 是平行四边形，则有A+B=B+C=C+D=D+A=180；且A=C， B=D；3从对角线看：平行四边形的对角线互相平分。即若四边形 ABCD 是平行四边形，则有 AO=CO，BO=DO；4平行四边
3、形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；5若一条直线过平行四边形的两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中心，且这条直线二等分平行四边形的面积。如下图：有 OE=OF，且四边形 AFED 的面积等于四边形 FBCE 的面积。知识点三：平行线间的距离1定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。注：距离是指垂线段的长度，是正值。2平行线间的距离处处相等。知识点四：平行四边形的面积1面积：平行四边形的面积=底高，即如图 1，有2同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。即如图 1 ， ABCD 与 BEFC有公共边 BC，且同
4、高，则有知识点五：平行四边形的判定方法1、从边上看（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、从角上看两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3、从对角线上看对角线互相平分的四边形是平行四边形。图形语言与符号语言判定 图形语言 符号语言边 在四边形 ABCD 中ABCD,ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形边 在四边形 ABCD 中AB=CD,AD= BC 四边形 ABCD 是平行四边形边 在四边形 ABCD 中AB=CD,ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形角 在四边形 ABCD 中A=C,B
5、=D四边形 ABCD 是平行四边形对角线 在四边形 ABCD 中OA=OC,OB=OD 四边形 ABCD 是平行四边形知识点六：三角形中位线定理1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。三、规律方法指导在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线. 对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们
6、与边、角之间的关系. 除了边、角与对角线三个主要研究角度外，还涉及面积计算、对称特征等项内容. 这些不但适用于一般平行四边形，也适用于特殊的平行四边形（比如矩形、菱形和正方形等），还适用于其他的一些四边形（比如梯形等）的研究.经典例题透析类型一：平行四边形的性质例 1、如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O（且 ADCD）, 过 O 作 OMAC,交 AD于 M,如果 CDM 的周长是 18cm, 求平行四边形 ABCD 的周长. 思路点拨：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有时容易被忽视。解析：因为四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC、BD 相交于 O 点。所以，AO=CO
7、,又因为 OMAC 于 O 点。所以 MO 为线段 AC 的垂直平分线，故 AM=MC因为 CDM 的周长是 18cm，即 CM+MD+DC=18cm所以 AM+MD+DC=18cm，即 AD+CD=18cm因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AD=BC,CD=AB平行四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA=2(AD+CD)=36cm总结升华：平行四边形对边相等、对角线互相平分、线段垂直平分线的性质的综合应用是难点。举一反三：【变式 1】如图，平行四边形 ABCD 的周长为 60cm，对角线交于 O，AOB 的周长比BOC的周长大 8cm，求 AB，BC 的长解析：四边形 AB
8、CD 是平行四边形AB=CD，AD=BC，AO=CO， ABCD 的周长是 602AB+2BC=60，即 AB+BC=30，又AOB 的周长比BOC 的周长大 8即（AO+OB+AB）-（BO+OC+BC）=AB-BC=8， 由有解得AB，BC 的长分别是 19cm 和 11cm【变式 2】 已知：在平行四边形 ABCD 中，BE、DF 分别平分ABC 和ADC， 试说明：BE=DF【答案】ABDC2=1(两直线平行，内错角相等） BE、DF 分别平分ABC 和ADC. 3 = ABC, 2 = ADC ABC=ADC , 3=2 , 3=1DFEB(同位角相等，两直线平行),四边形 DFBE
9、 是平行四边形 BE=DF（平行四边形的对边相等）注：夹在两条平行线间的平行线段相等【变式 3】如图：在平行四边形 ABCD 中，CE 是DCB 的平分线，F 是 AB 的中点，AB=6,BC=4.求：AE：EF：FB 的值解：因为 ABCD 是平行四边形，所以 AB/CD,ECD=CEB因为 CE 为DCB 的角平分线，所以ECD=ECB,所以ECB=CEB,所以 BC=BE因为 BC=4,所以 BE=4因为 AB=6,F 为 AB 的中点，所以 BF=3所以 EF=BE-BF=1,AE=AB-BE=2所以 AE：EF：FB=2：1：3.【变式 4】如图，已知 ABC 是等边三角形，D、E
10、分别是 BC、AC 上两点，且 BD=CE,以 AD 为边在 AC 一侧作正三角形 ADF，求证：BEDF.证明：在ABD 和BCE 中，所以ABDBCE所以2=3,易得3=4，所以2=4.因为4+5+60=180，1+6+60=180， 5=6所以1=4，所以1=2，所以 BEDF.【变式 5】在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB, M 为 AD 的中点，CEAB 于 E。求证：DME=3AEM证明：作EMN=AEM, MN 交 EC 于 N,连接 MC因为AEM=EMN（1）,所以 MN/AE/ CD又因为 CEAB,所以 MNCE，在梯形 AECD 中，因为 MN/CD,且 M 为
11、AD 的中点，所以 MN 为梯形的中位线，故 EN=CN所以 MN 为 CE 的中垂线所以EMN=CMN（2）在 CDM 中，因为 CD=DM，所以DCM=DMC(3)因为 MN/CD，所以CMN=DCM（4）由（1） （2） （3） （4）得：DME=3AEM.类型二：平行四边形的判定定理例 2、如图 1，在平行四边形 ABCD 中，DAB=60，点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上，且 AE=AD，CF=CB。（1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形。（2）若去掉已知条件的“DAB=60” ，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。思路点拨:熟悉平行四边形
12、的判定方法，根据具体题目选用最为简洁的定理进行证明解析：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，DC/AB，DCB=DAB=60 ADE=CBF=60又AE=AD，CF=CB，AED、CFB 是正三角形又在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，DC=AB，ED=AD=BC=BF,则有ED+DC=BF+AB即 EC=AF又DC/AB，即 EC/AF四边形 AFCE 是平行四边形。（2）上述结论还成立。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 DC/AB，DCB=DAB，AD=BC，DC/AB 且 DC=AB ADE=CBF 又AE=AD，CF=CB AED=ADE，CFB=CBF AED=CFBADE
13、CBF ED =FBED+DC=FB+AB，即 EC=FA四边形 EAFC 是平行四边形。总结升华：平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。举一反三：【变式 1】已知：平行四边形 ABCD 中，E、F 分别 AD、BC 的中点，G、H 分别是AB、CD 的中点,AH、CG、BE、DF 交点依次是 M、 N、X、Y求证：四边形 MNXY 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC
14、， AD=BCE、F 分别 AD、BC 的中点ED= AD， BF= BC EDBF， ED=BF四边形 EBFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）同理可得四边形 AGCH 是平行四边形EBFD，AHCG四边形 MNXY 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 。【变式 2】如图，已知 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB交 CD 于 F，过 F 作 FHAB，交 BC 于 H。求证：CE=BH提示 通过利用平行四边形的性质构造全等，从而证明两线段相等。证明：过 F 作 FPBC，交 AB 于 P四边形 BPFH 是平行四边形
15、PF=BH, B=APF又CEF=90-CAE，CFE=AFD=90-DAE，AE 平分CADCAE =DAE, CEF=CFE，CF=CE在ACF 和APF 中，CAF=PAF，AF=AF，ACF=B=APF，ACFAPF（AAS）CF=FP CE=BH【变式 3】如图，已知ABC，以 BC 为边在点 A 的同侧作正DBC，以 AC、AB 为边在ABC 的外部作正EAC 和正FAB。求证：四边形 AEDF 是平行四边形。 提示 通过证明全等来构造平行四边形的条件证明：ABF 为正三角形 AB=FB,1+2=60同理,AE=AC,BC=BD,3+2=60 1=3在BDF 和BCA 中， BDFBCA (SAS) FD=AC 又AE=AC FD=AE 同理，AF=ED 四边形 AEDF 是平行四边形。类型三：构造平行四边形，应用性质例 3、在等边三角形 ABC 中，P 为 ABC 内一点，PDAB,PEBC,PF/AC,D,E,F 分别
