1、点线面的位置关系（1）四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言： 。,AlBl且公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线） 。符号语言： 。, ,PlP且公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言： 。/,/albla且（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.
2、概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线 ，经过空间任意一点 O 作直线 ，我们,ab/,ab把 与 所成的角（或直角）叫异面直线 所成的夹角。 （易知：夹角范围ab,ab）09公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言： 。/,/llab且定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：相 交 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ;共 面 直 线 平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点
3、 ;异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种： /llA 直 线 在 平 面 内 （ ） 有 无 数 个 公 共 点直 线 与 平 面 相 交 （ ） 有 且 只 有 一 个 公 共 点直 线 在 平 面 外 直 线 与 平 面 平 行 （ ） 没 有 公 共 点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种： /l两 个 平 面 平 行 （ ） 没 有 公 共 点两 个 平 面 相 交 （ ） 有 一 条 公 共 直 线考点 1:点，线，面之间的位置关系例 1.(201
4、4 辽宁,4,5 分)已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面.下列说法正确的是( )A.若 m,n,则 mnB.若 m,n,则 mnC.若 m,mn,则 nD.若 m,mn,则 n答案 1.B解析 1.A 选项 m、n 也可以相交或异面,C 选项也可以 n,D 选项也可以n 或 n 与 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例 2.(2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 5) 设 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若 则 B若 则C若 则 D若 则答案 2. D解析 2.A 选项不正确，因为 是可能的；B 选项不正确，因为 ， 时， ， 都是可能的；C
5、选项不正确，因为 ， 时，可能有 ；D 选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的故选 D例 3. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考，4) 设 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面下列命题中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 答案 3. D解析 3. 若 ，则平面 与 垂直或相交或平行，故（A) 错误；若 ，则直线 与 相交或平行或异面，故（B) 错误；若 ，则直线 与平面 垂直或相交或平行，故（C) 错误；若 ，则直线 ，故（D) 正确. 选 D.例 4. (2014 周宁、政和一中第四次联考，7) 设 表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： 若 ，
6、且 则 ； 若 ，且 . 则 ；若 ，则 ；若 且 , 则 .其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4答案 4. B解析 4. 正确；直线 或 ，错误；错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；正确. 故真正确的是，共 2 个.2. 空间几何平行关系转化关系：直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,/aba且 在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一
7、个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,/abP判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行/,bab平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行/,/ba（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。即 公理 4 1证明这条两条直线的方向量共线。 2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。即面面平 3行的性质。2证明直线和平面相互平行的方法证明直线和这个平面内的一条直
8、线相互平行； 1证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行； 2证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 33证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ，a ，b ，则 。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a 则。（4）平行于同一个平面的两个平面平行。 /,/4.两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可
9、简记 为：“面面平行，则线面平行 ”。用符号表示是：，a ，则 a 。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行” 。用符号表示是：，=a， =b，则 ab。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则 a。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行3. 空间几何垂直关系 1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线
10、的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式： 。,POAaAOa注意：三垂线指 PA，PO，AO 都垂直 内的直线 a 奎 屯王 新 敞新 疆 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 奎 屯王 新 敞新 疆 要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用。2线面垂直（1）定义：如果一条直线 l 和一个平面 相交，并且和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 互相垂直 奎 屯王 新 敞新 疆其中直线 l 叫做平面的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足
11、。直线 l 与平面 垂直记作：l。（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（3）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3面面垂直（1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。（2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。考点 2：证明线面之间的平行与垂直aP OA例 1 .如图,
12、四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,DPC=30,AFPC 于点F,FECD,交 PD 于点 E.(1)证明:CF平面 ADF;解析 1.(1)证明:PD平面 ABCD,PDAD,又 CDAD,PDCD=D,AD平面 PCD,ADPC,又 AFPC,AFAD=A,PC平面 ADF,即 CF平面 ADF.例 2. (2011 江苏, 16, 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD平面ABCD, AB=AD, BAD=60, E, F 分别是 AP, AD 的中点. 求证:() 直线 EF平面 PCD;() 平面 BEF平面 PAD. 答案 () 在PAD 中,
13、 因为 E, F 分别为 AP, AD 的中点, 所以 EFPD. 又因为 EF平面 PCD, PD平面 PCD, 所以直线 EF平面 PCD. () 连结 BD. 因为 AB=AD, BAD=60, 所以ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD的中点, 所以 BFAD. 因为平面 PAD平面 ABCD, BF平面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCD=AD, 所以 BF平面 PAD. 又因为 BF平面 BEF, 所以平面 BEF平面 PAD. 例 3. (2009 江苏, 16, 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, E、F 分别是 A1B、A 1C 的中点, 点 D
14、在 B1C1上, A 1DB 1C. 求证:() EF平面 ABC;() 平面 A1FD平面 BB1C1C. 答案 3.() 因为 E、F 分别是 A1B、A 1C 的中点, 所以 EFBC, EF面 ABC, BC面 ABC. 所以 EF平面 ABC. () 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以 BB1面 A1B1C1, BB1A 1D, 又 A1DB 1C, 所以 A1D面 BB1C1C, 又 A1D面 A1FD, 所以平面 A1FD平面 BB1C1C. 例 4.(2008 江苏, 16, 14 分) 如图, 在四面体 ABCD 中, CB=CD, ADBD, 点E、F 分别是 AB
15、、BD 的中点. 求证:() 直线 EF平面 ACD;() 平面 EFC平面 BCD. 答案 4.() 在ABD 中, 因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 所以 EFAD. 又 AD平面 ACD, EF平面 ACD, 所以直线 EF平面 ACD. () 在ABD 中, 因为 ADBD, EFAD, 所以 EFBD. 在BCD 中, 因为 CD=CB, F 为 BD 的中点, 所以 CFBD. 因为 EF平面 EFC, CF平面 EFC, EF 与 CF 交于点 F, 所以 BD平面 EFC. 又因为 BD平面 BCD, 所以平面 EFC平面 BCD. 例 5. (2013 北京海淀区高三三月模拟题，17,14 分）在四棱锥 中，平面 ， 是正三角形， 与 的交点 恰好是 中点，又， ，点 在线段 上，且（）求证： ；（）求证： 平面 ；答案 7.(I) 因为 是正三角形， 是 中点，所以 , 即.又因为 ， 平面 ，所以 .又，所以 平面 .又 平面 ，所以 .（）在正三角形 中， ，在 中，因为 为 中点，所以 .又 ，所以 .所以由 , 得 .所以 .在等腰直角三角形 中， ，所以 .所以 ， ，所以 .又 平面 ，平面 ，所以 平面 .
