1、第 1 页 共 6 页空心传动轴的优化设计一、问题描述设 计 一 重 量 最 轻 的 空 心 传 动 轴 。 空 心 传 动 轴 的 D、 d 分 别 为 轴 的 外 径 和 内 径 。 轴的 长 度 不 得 小 于 5m。 轴 的 材 料 为 45 钢 ， 密 度 为 7.810-6 / ， 弹 性 模 量E=2105MPa， 许 用 切 应 力 =60MPa。 轴 所 受 扭 矩 为 M=2106Nmm。 二、分析设计变量：外径 D、内径 d、长度 l设计要求：满足强度，稳定性和结构尺寸要求外，还应达到重量最轻目的。三、数学建模所 设 计 的 空 心 传 动 轴 应 满 足 以 下 条 件
2、 ：（ 1） 扭 转 强 度 空 心 传 动 轴 的 扭 转 切 应 力 不 得 超 过 许 用 值 ， 即 空 心 传 动 轴 的 扭 转 切 应 力 : 经 整 理 得416dDM07.54（ 2） 抗 皱 稳 定 性 扭 转 切 应 力 不 得 超 过 扭 转 稳 定 得 临 界 切 应 力 :237.0DdE整 理 得 ： 028.34（ 3） 结 构 尺 寸 minl0dD第 2 页 共 6 页ldDxX321则 目 标 函 数 为 ： 32166202.0.6min xlxf 约 束 条 件 为 ： 7.17.)( 541541 xDdXg08.8.2 2/314212/342 x
3、d05)(33xlg24dX)(215 xD四、优化方法、编程及结果分析1 优化方法综合上述分析可得优化数学模型为： ； ；TxX321,)(minxf。考察该模型，它是一个具有 3 个设计变量，5 个约束条件的有约0.xgtsi束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用 SUMT 惩罚函数内点法求解。2 方法原理内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题 )(minxf),210)(.jjgts第 3 页 共 6 页转化后的惩罚函数形式为 m
4、jjxgrxfr1)()(,(或 jjfx1ln)(),(式中 r惩罚因子，它是由大到小且趋近于 0 的数列，即。0210。mjmjjj xgxg11)(ln)(障 碍 项或由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙” ，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子 时，0r才能求得在约束边界上的最优解。3 编程首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。function f=objfun(x)f=pi*rou*(x
5、(1)2-d2)*x(4)+(x(2)2-d2)*x(3)/4再编写非线性约束函数文件 M 文件 ax.m;Function c,ceq=g(x);pi=3.14;d=40; %主轴内径 mmF=20000; %切削力 NP=1.5; %主轴输入功率 KWn=960; %主轴转速 r/minE=2.1*105; %主轴材料弹性模量 N/mm2y=0.05; %许用挠度 mmfa=1/12; %许用扭转刚度 /m第 4 页 共 6 页sita=0.0025; %许用偏转角G=0.081; %轴材料的剪切弹性模量 GPac(1)=64*F*x(4)2*(4*x(4)/(x(1)4-d4)+3*x(
6、3)/(x(2)4-d4)/(3*pi*E)-y;c(2)=180*9549*P/(pi2*n*G*(x(2)4-d4)/32)-fa;c(3)=F*x(3)*x(4)/(3*E*(x(2)4-d4)-sita;ceq=;在 MATLAB 命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：x0=120;110;450;120;a=1 0 0 0;-1 0 0 0;0 1 0 0;0 -1 0 0;0 0 1 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 0 -1;b=160;-80;150;-70;600;-350;160;-80;1b=80;70;350;80;ub=160;150;600;16
7、0;x,fval=fmincon(axis_m,x0,a,b,1b,ub,ax)4 结果分析优化程序经过 12 次迭代计算收敛，得到结果如下：x=107.6547 102.7428 350.0000 80.0000fval=24.0857圆整后得到 X=(109,104,350,80)T，fval=24.9897，显然机床主轴结构比较合理。第 5 页 共 6 页图 1图 2参照以上图 1、图 2 通过查阅机械设计手册发现优化结果没有超过材料的屈服极限，轴的应变分布比较均匀，有利于材料的充分利用。第 6 页 共 6 页五、参考文献1孙靖民，机械优化设计M.3 版. 北京：机械工业出版社， 2003：124-172.2韩晓明，铁占续，机械优化设计及其 MATLAB 实现J.焦作工学院学报，2004，(6)：467-470.3储开宇，杜比强，段松屏，机床主轴参数的优化设计J.水利电力机械，2000，(1)：2-4.4周建平.基于 MATLAB 的机械优化设计 J.黄石理工学院学报，2005，(3)：43-45.5苏金明，阮沈勇.MATLAB 实用教程M.北京：电子工业出版社，2002：100-146.
