1、一、填空题(每小题3分,共15分 )1、设 ，且当 时， ，则 。(yxfz02xzz（22xy）2、计算广义积分 = 。13d3、设 ，则 。xyez),(z4、微分方程 具有 形式的特解.）xey2655、设 14nu，则 1nu_。二、选择题(每小题3分,共15分)1、203si()lmxyy的值为 （ ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、 和 存在是函数 在点 可微的 （） 。),(0fx ),(0xfy ),(yxf),(0yA.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面 和 及柱面 所围的体积是 （ ） 。z42z2
2、1A. ； B. 204dr；ddrr02C、12； D. 12d4、设二阶常系数非齐次线性方程 ()ypqfx有三个特解 ， ，xy1xe2，则其通解为 （ ） 。xey23A. ； B. ；xe21xxeC2321C. ； D.)()(xxeC)()(e5、无穷级数 ( 为任意实数 ) （）1npA、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：0lim1xy。（6分）2、求由 与直线 、 、 所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积。4x0yx（6分）3、求由 所确定的隐函数 的偏导数,zy。xyze),(z4、求函数322(,)4fxyxy的极值
3、。（6分）5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入 (万元)R与电台广告费用 (万元)的及报纸广告费用 (万元) 之间的关系有如下的经验公式: 1 2x.若提供的广告费用为 万元,求相应的最优广告策212083xxR 5.1略.（6分）6、计算积分 ,其中 是由直线 及 所围成的闭区域；Ddxyxy2,2,17、已知连续函数 满足 ，且 ，求 。)(fxfdtf0)()( 0)(f)(xf8、求解微分方程 =0 。21y（6分）9、求级数 31()nnx的收敛区间。（6分）10、 判定级数 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。1!)2si
4、(nn四、证明题(每小题5分,共10分)1、设正项级数 1nu收敛,证明级数11nu也收敛。（5分）2、设 ,其中 为可导函数, 证明 .)(2yxfz)(f 21yzxz）)(dexba21A A D C D解：0lim1xy0(1)lixy（3分）0lim(1)2xy解：421()dxV（4分）7.5 ,有 （3分）zyze)1(zxyexz方程两边对 求导得:,有xzz )(z解：322(,)4fyxy，则8x， ,2yfxy，,6f， ()x， (,)f， 求驻点，解方程组20，得 和 ,. （2分）,对 有 (0,)8xf， ()2xyf， (0)2yf，),(于是 21BAC，所以
5、 是函数的极大值点，且 ,0f （4分）,对 ,有 ,24xf， xyf， ,yf，于是 2， (,)不是函数的极值点。 解：显然本题要求:在条件 下,求 的最大值.05.1221R令 , （3分）)51(8315 2 xF解方程组（5分）0,5.1,2421xx得: , 12所以,若提供的广告费用为 万元,应将 万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. .511394xd（6分）解：2xDyyx. （4分）解：关系式两端关于 求导得：即 （2分）1)(2)(fff xfxf21)()(这是关于 的一阶线性微分方程，其通解为：x)21()(cexexf dxd= （5分）)又 ，即 ，故 ，
6、所以 （6分）0)1(f1c1c1)(xf解：令 yp，则dpy，于是原方程可化为：20dpy（3分）即21d，其通解为221()dyce（5分）即2)(ycxxyd2)(故原方程通解为： 21cx解：令 2tx,幂级数变形为 31nt,31limli1ntaR. （3分）当 时,级数为 0()n收敛；1t当 时,级数为 31n发散. t故 31n的收敛区间是 , （5分）)tI那么(2)nx的收敛区间为 13x. 解：因为si1!n（2分）由比值判别法知 1!n收敛( (1)!lim0n)， （4分）从而由比较判别法知 1si2)nx收敛，所以级数 1sin(2)!x绝对收敛. （6分）证： ， （3分）)(21nuu而由已知 收敛，故由比较原则， 也收敛。 1n 1nu证明：因为 , （2分）2fxyz（4分）fy所以 . （5分）22211yzfyffzx
