1、一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如： 与xylg|及 的区别xylg|xylg|),(2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算3.判断命题的真假要以真值表为依据。在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假4.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若 ，则 A是 B的充分条件（B 是 A的必
2、要条件） ；若 A=B，则 A是 B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“ ”判断B5.（1）含 n个元素的集合的子集个数为 ，真子集（非空子集）个数为 1；2n 2n（2） ;BABA（3） ;)(,)( BCACCIIIIII 二、函数1.函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求 A中的任一元素在 B中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且 A中不同元素在 B中可以有相同的象2.函数的奇偶性（1）函数奇偶性的概念，注意对
3、定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函数 的奇偶性2|xy(2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例（3）若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(x)= ，如：已知偶函数 ()fx在区间)(xf0,)单调递增，则满足 (21)fx 3的 x 取值范围是 （ 13， 2）（4）若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 （可用于求参数） ，如：已0)(f知函数 为奇函数，求 的值（ ）1()2xfaa21（5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)f(-x)=0 或 （f(x)1)(xf0） ，如：函数 f(x)=lg( )是 （奇、偶）函数x12（6）奇函数
4、在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于 x轴对称、关于 y轴对称、关于原点对称、关于 y=x对称、关于 y=-x对称等（2）证明图像 与 的对称性，即证明 上的任意点关于对称中心（对称轴）1C21C的对称点仍在 上，反之亦然，如：已知函数 ，函数 g（x）132)(xxf的图像与 f(x)图像关于直线 x=2 对称，求函数 g（x）的解析式（g（x）=）45192x（3）曲线 :f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线 方程为：f(2ax,2by)= C2C0如：已知
5、函数 ，函数 g（x）的图像与 f(x)图像关于点132)(xxf（1，2）对称，求函数 g（x）的解析式（g（x）= ）12x（4）若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(ax)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x=a对称；一般地，有 f(a+x)=f(bx)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x= 对称2ba4.函数的周期性(1)y=f(x)对 xR 时，f(x +a)=f(xa) 或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数；有 f(x +a)=-f(x)或 f(x)= ，则)(1axfy=f(x)也是周期为 2|a|的周期函数；一般
6、地，f(x +a)=f(x+b)，则 y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在 R上的函数 的图象关于 y轴对称，且)(xf满足 =- ，则 （0）)(xf)2(f )8()2(1ff（2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；（3）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；（4）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2的周期函数ba5.方程 f(x)=k有解 kD(D 为 f(x)的值域)；如：若方程 在30xm上有解，则实
7、数 的取值范围是 -2,20,2m6.af(x) 恒成立 a f(x)max,; af(x) 恒成立 af(x)min，如：设 ，当 时， 恒成立，则实数321()5fxx2,1()fx的m取值范围为 (7,)7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上）（2） (a0,a1,b0,nR+); naablogl(3) = ( a0,a1,b0,b1)(换底公式)Nalbl(4) 的符号由口诀“同正异负”记忆(即 a,N同大于 1或同小于 1,则对数aog值为正,而 a,N一个大于 1,一个小于 1,则对数值为负) (5) (对数恒等式) = N ( a0,a1,N0 );alog8.能熟练地用定
8、义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在 R上的函数 y=f（x） ，对任意实数 m、n，恒有 f（m+n）=f （m）f（n）且当 x0时，0f（x） 1.（1）求证：f（0）=1，且当 x0 时，f （x）1；（2）求证：f（x ）在 R上递减9求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域）10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上
9、必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已知定义在1，4上的函数 f(x)x 2-2bx+ ，求 f(x)的最小值 g(b)4b12.掌握函数 的图象和性质；(0);(0)axbcayyx函数 （分离常数）cxacx （双钩函数）)(ax定义域 ),(),( ,0),(值域 a ),2,a奇偶性 非奇非偶函数 奇函数单调性 当 b-ac0时，在 上递),(,(c减当 b-ac=a12yxa|b六、不等式1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参
10、数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分段法3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用 a+b (a0,b0)时要符合“一ab2正二定三相等” ；注意均值不等式的一些变形，如 ；22)(;)(ba如：求函数 ， 的最小值 （5）xysin42,0(七、直线、平面、简单几何体1.从一点 O出发的三条射线 OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点 A在平面BOC 上的射影在BOC 的平分线上；2.线面角公式：AB 是平面 的一条斜线，斜足为 A，AB 在平面 内的射影为 ，B设 AB和平面 所成的角是 ，AC 是平面 内任一条直线，AC 和 AB的射影1所成的角是 ，设BAC=,则 cos cos =co
11、s；AB223.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；A（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；（3）向量法：即求两异面直线所对应的向量的夹角4.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；5.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时
12、，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式 射 原 cos,其中 为二面角的平面角的S大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。6.空间角的向量求法7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂
13、线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.距离求法的统一公式 |nABd9.正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；10.球的体积公式 V= ，表面积公式 ；掌握球面上两点 A、B 间的距34R24RS离求法：（1）计算线段 AB的长， （2）计算球心角AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧 AB的长；八、排列组合二项式定理和概率1.两个计数原理的应用2.排列数公式: =n(n-1)(n-2)(
14、n-m1)= (mn,m、nN*),当 m=n时为mnA)!(mn全排列 =n(n-1)2!1;3.组合数公式： （mn）, ；(1)231mnC 10nC4.组合数性质： rnrnnC1;5.二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项： );,.210(1 nrbaTnrr（2）注意第 r1 项二项式系数与第 r1 系数的区别；6.二项式系数具有下列性质：（1）与首末两端等距离的二项式系数相罉；（2）若 n为偶数，中间一项（第 1 项）的二项式系数最大为 ；若 n为奇2n2C数，中间两项（第 和 1 项）的二项式系数最大为 和121（3） ;3120210 nnnnnn CC7.f(x)= 展开
15、式的各项系数和为 f(1)，奇数项系数和为 ；nbax)( )1(2f偶数项的系数和为)1(2f8.等可能事件的概率公式：（1）P（A） ；（2）互斥事件分别发生的概率公mn式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)P(A)P(B)；（4）独立重复试验概率公式 P= (5)如果事件 A、B 互斥，;)1(knknpC那么事件 A与 、 与 及事件 与 也都是互斥事件；（6）如果事件 A、BBAB相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1P（AB）1P(A)P(B)；（7）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1P（）1P( )P( )；九、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
