1、智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 1知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第n1m二类办法中有 种方法，在第 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有2mn种不同的方法又称加法原理1nN乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，n1做第二个步骤有 种不同方法，做第 个步骤有 种不同的方法那么完成这件事2 nm共有 种不同的方法又称乘法原理1nNm加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理
2、如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成， 这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、 组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，n()mn叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）n排列数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同() n元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示mAn排列数公式： ， ，并且 A(1
3、)21n Nm全排列：一般地， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列n的阶乘：正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示规定： n !0!1组合：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素并成一组，叫做从 个元() n素中任取 个元素的一个组合m组合数：从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个nm()n不同元素中，任意取出 个元素的组合数，用符号 表示Cm排列组合问题的常见模型 2智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 2组合数公式： ， ，并且 (1)2(1)!C!()mnnmn ,mNn组合数的两个性质：性质 1： ；性质
4、2： （规定 ）Cn 11Cnn01n排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相 邻的元素“ 捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然
5、后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： 个相同元素，分成 组，每 组至少一个的分 组问题把 个元素n()mn n排成一排，从 个空中选 个空，各插一个隔板，有 111mnC7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之 别一般地平均分成 堆（组），必须除以 ！，如果有 堆（组）元素个数相等，必须除以 ！8错位法：编号为 1 至 的 个小球放入编号为 1 到 的 个盒子里，每个盒子放一个小n球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 ，3，4，5 时的2n错位数各为 1，2，9，44关于
6、 5、6、7 个元素的错位排列的 计算，可以用剔除法 转化为 2个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此 类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考 虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排
7、；理解题意后进行合理和准确分 类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的 问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处 理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题 ，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的 问题，需要构造模型智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 3典例分析分堆问题【例 1】 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？6 一堆一本，一堆两本，一堆三本； 甲得一本，乙得两本，丙得三本； 一人得一本，一人得二本，一人得三本； 平均分给甲、乙、
8、丙三人； 平均分成三堆【例 2】 有 6 本不同的书甲、乙、丙 3 人每人 2 本，有多少种不同的分法？分成 3 堆，每堆 2 本，有多少种不同的分堆方法？分成 3 堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？分给甲、乙、丙 3 人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少不同的分配方法？分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本，有多少种不同的分配方法？分成 3 堆，有 2 堆各一本，另一堆 4 本，有多少种不同的分堆方法？摆在 3 层书架上，每层 2 本，有多少种不同的摆法？【例 3】 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？选出 5 个人再分成
9、两组，一组 2 人，另一组 3 人；选出 6 个人，分成两组，每组都是 3 人；选出 2 人一组、3 人一组，轮流挖土、运土智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 4【例 4】 将 名 大 学 生 分 配 到 个 乡 镇 去 当 村 官 ， 每 个 乡 镇 至 少 一 名 ， 则 不 同 的 分3配 方 案 有 种（用数字作答） 【例 5】 把一同排 6 张座位编号为 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分123456， ， ， ， ，1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A B C D8971【例 6】 现有 3 辆公交车、3 位司机
10、和 3 位售票员，每辆车上需配 1 位司机和 1 位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？【例 7】 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有（ ）A90 种 B180 种 C270 种 D540 种智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 5【例 8】 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A 540 B 300 C 180 D 150【例 9】 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班
11、，不同的安排方法共有 种 （用数字作答）染色问题【例 10】 如图，正五边形 中，若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿三种ABCDE颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ）A 30 种 B 27 种 C 24 种 D 21 种【例 11】 将 填入 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种123， ， 填法，则不同的填写方法共有_智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 632 13 21321【例 12】 将 填入 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种1,23填法，则不同的填写方法共有（ ）A 种 B 种 C 种 D
12、种62448【例 13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 、 、 、 四个小方格涂色ABCD（允许只用其中几种） ，使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ） DCBAA B C D24367284【例 14】 将 个 和 个 共 个字母填在如图所示的 个小方格内，每个小方格2ab416内至多填 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有1智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 7_种（用数字作答） 【例 15】 如图所示 、 、 、 、 为 个区域，现备有 种颜色为 个区域涂ABCDE55色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，
13、共有多少种不同的涂色方法？EDCB A【例 16】 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 _种（用数字作答） 【例 17】 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 8共有 _种（用数字作答） 错位排列【例 18】 编号为 的五人入座编号也为 的五个座位，至多1,234,51,234,5有 人对号的坐法有_种【例 19】 7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，问：共有多少种旅游方案?【例 20】 7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，丙不去 C 地，问：共有多少种旅游方案?【例 21】 7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，丙不去 C 地，丁不智康高中数学.板块六. 排列组合问题的常见模型 2.题库 9去 D 地，问：共有多少种旅游方案?
