1、 广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名授课日期第 2 页 共 14 页第一部分：知识点回顾 1边与边关系：a 2b 2c 22角与角关系：AB903边与角关系，sinA ，cosA ，tanA ，cota ac bc ab ba4仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的1 就是仰角，2 就是俯角。坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比) ，读作 i，即 i ，坡度通常用 1:m 的形式(注意:坡度一定要写出 1:几的形ACBC式)，例如上图的 1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。
2、从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 itanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。第二部分：自我评测掌握情况知识点非常好 一般 有待提高 备注特殊三角函数的值坡度计算三角函数的实际应用第三部分：例题剖析例：如图，若CAB = 90，C = ，BDA = ，CD = m，求 AB.解法：设 AB = x，在 RtBAD 中， ，tantABxD在 RtABC 中， ttA CA = CD + DA 课题 锐角三角函数的实际应用教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学难点 能够灵活运
3、用三角函数解决简单的实际问题第 3 页 共 14 页B C lDA 通过解方程求出知数 x 的值tantaxxm第四部分：典型例题例 1：某人在 D 处测得大厦 BC 的仰角BDC 为 30,沿 DA 方向行 20 米至 A 处,测得仰角BAC 为45,求此大厦的高度 BC。变式训练 1：（2011 广东）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB 是 A到 l 的小路. 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出ACD=30，ABD=45 ，BC=50m . 请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： ， ）.41.2732第
4、 4 页 共 14 页变式训练 2：如图所示，小明家住在 32 米高的 楼里，小丽家住在 楼里， 楼坐落在AB楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 A 30（1）如果 两楼相距 米，那么 楼落在 楼上的影子有多长？B， 203（2）如果 楼的影子刚好不落在 楼上，那么两楼的距离应是多少米？B（结果保留根号）2、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。例 2：（2011 江苏淮安，23，10 分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物 AB与铁塔 CD 都垂直于底面，BD=30m，在
5、A 点测得 D 点的俯角为 45，测得 C 点的仰角为 60.求铁塔CD 的高度A楼B楼CEGFHD30第 5 页 共 14 页30 mAB CDE 变式训练 1：小明想测量塔 BC 的高度他在楼底 A 处测得塔顶 B 的仰角为 ；爬到楼顶 D 处测得60大楼 AD 的高度为 18 米，同时测得塔顶 B 的仰角为 ，求塔 BC 的高度30变式训练 2：某高为 5.48 m 的建筑物 CD 与一铁塔 AB 的水平距离 BC 为 330 m，一测绘员在建筑物顶点 D 测得塔顶 A 的仰角 a 为 30. 求铁塔 AB 高.（精确到 0.1 m）.第 6 页 共 14 页30A BFEP45变式训练
6、 3、 （2011 年三门峡实 验中学 3 月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的俯角为 30，看这栋大楼底部 C 的俯角为 60，热气球 A 的高度为 240 米，求这栋大楼的高度3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90的角为方向角。例 3：一个半径为 20 海里的暗礁群中央 P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在 A 处观测此灯塔在北偏西 60方向，航行了 20 海里后到 B，灯塔在北偏西 30方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？变式训练 1：（广东中山，15，6 分）如图所示， A、 B两城市相距 10km，现计划在这两
7、座城市间修建一条高速公路（即线段 AB） ，经测量，森林保护中心 P在 城市的北偏东 3和 B城市的北偏西 45的方向上，已知森林保护区的范围在以 点为圆心， 5为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： 3 .72， .4）第 7 页 共 14 页变式训练 2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛 北偏西 并距该岛 海里的 处待命位于该岛正西方向 处的A4520BC某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东 的方向有我军护航舰（如图所示） ，便发出紧急求6救信号我护航舰接警后，立即沿 航
8、线以每小时 60 海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟BC可以到达该商船所在的位置 处？（结果精确到个位参考数据： ）21.43.7 ， 如图，小明从 A地沿北偏东 30方向走 13m到 地，再从 B地向正南方向走 0m到 C地，此时小明离 地 4、坡度与坡角坡角：把坡面与水平面的夹角 叫做坡角。坡度：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l的比叫做坡度（或叫做坡比） ，一般用 i 表示。即 ，=:i坡度= tanil坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡例 4：（湖南衡阳，9，3 分）如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，3堤高 BC=5m，则坡面 AB 的长度是（ ）A10m B10
9、 m C15m D5 m3例 5：（甘肃兰州，17，4 分）某水库大坝的横断 面是梯形，坝内斜坡的坡度 i=1 ，坝外斜坡的3坡度 i=11，则两个坡角的和为 。第 8 页 共 14 页30 45EDCBAAB CE F D305.2:1i例 6：(福建省漳州市) 一个钢球沿坡角 31的斜坡向上滚动了 米，此时钢球距地面的高度是（ ）5A 米 B 米 C 米 D 米5sin315cos1 tan315cot31例 7：一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽 6.2 米，坝高 23.5 米，斜坡 AB 的坡度 i113，斜坡 CD 的坡度 i2 = 12.5。求：(1) 斜坡 AB 与坝底
10、AD 的长度（精确到 0.1 米） ；(2) 斜坡 CD 的坡角 （精确到 1） 。变式训练 1：某人沿着坡度 i=1: 的山坡走了 50 米，则他离地面 米。3变式训练 2：（山东东营，8，3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC5 米，迎水坡 AB 的坡比1： （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是（ ）A5 米 B10 米 C15 米 D10 米3变式训练 3：（顺义二模）20一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD，如图所示，其中背水面为 AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由 45改为 30，若测量得 AB=20 米，求整修后需占用地面
11、的宽度 BE 的长 （精确到 0.1 米，参考数据： 21.4,.72,6.49变式训练 4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 10 米，坝高 BE=CF=30 米，斜坡 AB 的坡角A=30 ，斜坡 CD 的坡度 =1:3，求坝底宽 AD 的长.（答案保留根号）i第 9 页 共 14 页第五部分：思维误区1对应关系混淆【1】如图 9，先进村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为 （ ）aA. 米 B. 米coscosaC. 米 D. 米ainin解析：分别过点 B，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点 C。则ABC
12、是直角三角形，且 C=90, CBA=, ，故选 B。coscosa错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角 的正弦、余弦是哪个边与斜边 AB 的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2专用名词不清【2】 （年深圳市）如图 9，如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1: ，AC10 米坡顶3有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB14 米试求旗杆 BC 的高度 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点 C 作 CEAD 于 E，CE 为铅直距离，AE 为水平距离，即 CE：AE=1: 。 ，CAE=30，解直角331tanAE三角形AEC 可得 CE
13、=5（m）, AE= （m）,在 RtABE 中， （m）, 5 12ABBC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。第六部分：方法规律锐角三角函数了解锐角三角函数（ ，sinA， ） ；知道 ，cosAtan30， 角的三角函数值4560由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 ， ， 角的三角函4560数式的值 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形 知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特
14、殊能综合运用直角三角形的性质解决有关问AB图 9ABCD图 10第 10 页 共 14 页直角三角形构成的组合图形的问题题第七部分：巩固练习A.基础训练：1在 RtABC 中，C90 ，下列关系式错误的是（ ）A B. C. D.cosbBtanbsincAtanbB2. 在 RtABC 中，C90 ，下列式子不成立的是（ ）A B. C. D.22acsiActabcosb3. RtABC 中,CD 为斜边 AB 上的高，AD4，BD2，那么 （ ）tanAA B. C. D. 2384.太阳光与地面成 42.5的角，一树的影长 10 米，则树高约为_。 （精确到 0.01 米）5.在离地面高 6 米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成 60角，则拉线的长约是_米。（精确到 0.01 米）6.如图 3131，大坝横截面是梯形 ABCD，CD3 m, AD6 m. 坝高是 3 m ，BC 坡的坡度 1:3, 则坡角A_ ，坝底宽iAB_。7.如图 3132，在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的 B 处折断，树顶 A 落在离树根 12 米的地方，现测得BAC48，求原树高是多少米？（精确到 0.01 米）
