1、指数与对数函数中的典型错误分类辨析指数函数与对数函数是函数这一章的重点内容，也是学习中的一个难点内容，初学这部分知识如果没有掌握指数函数与对数函数的图象与性质，常会出现各种各样的错误，下面就错误所在进行分类辨析.一求解函数定义域中的错误例 1 已知函数 f(x)log a(x 2log 2ax)的定义域为(0, )，则实数 a 的取值范围是12_.错解：函数 f(x)log a(x 2log 2ax)的定义域为(0, )，即当 x(0, )时，12 12x 2log 2ax 0 恒成立，即关于 x 的不等式 log2axx 2 在 (0, )上恒成立，令12y1log 2ax，y 2x 2，如
2、图，y 2 过点 P( , )，因 y1y 2 在(0, )上恒成立，故应有1214 12y1、y 2 在(0, )上的图象的位置关系为 y1 在 y2 上方， 2a1，即 a ，a 的取12 116 132 12值范围是 , ).13212辨析：产生错误的原因在于对定义域的定义的理解.当 a 的范围确定时，f(x)的定义域为(0, )，与x 2log 2ax0 互为充要条件，并非仅仅是充分条件而已.当 a 变化时，函数12定义域也随之变化，此题定义是确定的，因此 a 的值也是一个确定的值.正解：由条件知，log 2axx 2 的解集为(0, )，令 y1log 2ax，y 2x 2，如图，由
3、图易知12y2 过点 P( , )，因为在(0, )上 y1y 2，则在(0, )上 y1 的图象在 y2 的图象上方，所以，1214 12 12log2a ( )2，即 a .12 12 132特别提醒：要注意区分“函数定义域为区间 A”与“函数在区间 A 上恒成立”：两个概念十分相似，易误认为是同一个问题，事实上“函数在 A 上恒有意义”中的 A 是 f(x)的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为 A”中的 A 是函数的定义域，其解法是已知不等式解集求参数问题.二、求解函数值域中的错误例 2 若函数 ylg(x 2ax1)的值域为 R，求实数 a 的取值范围.错解：因函
4、数 ylg(x 2ax1)的值域为 R，故 x2ax10 对 xR 恒成立，而 f(x)x 2ax1 是开口向上的抛物线，从而0，即 a240，解得2a2，它便是所求的 a 的取值范围.辨析：以上解答与下列问题混为一谈：若函数 ylg(x 2ax1)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围.事实上，当值域为 R 时，它表示函数值 x2ax1 可取遍全体正实数，因而函数 x2ax1 的最小值不大于 0；而当函数 ylg(x 2ax1)的定义域为 R 时，它表示对一切实数 x，函数值 x2ax1 恒正，因而它们是两类不同的问题.正解一：函数 ylg(x 2ax1)的值域为 R，x 2ax1 当 xR
5、 时，可取遍全体正实数，x 2ax1 的最小值不大于 0，a 240，即 a2 或 a2，这就是所求 a 的取值范围.正解二：同上，x 2ax1 的最小值不大于 0，x 2ax1(x )21a2，x 2ax1 的最小值为 1 0，解得 a2 或 a2，这就是所求 a 的取值范围.a24 a24特别提醒：破解问题时，应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为 A”与“f(x)A 恒成立”与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们，在平时的学习中，应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别.例 3 已知函数 f(x)log 2x3(x1,8)，则函数 yf(x) 2f(x 2
6、)的最大值是_.错解：x1,8，故 log2x0,3，yf(x) 2f(x 2)(log 2x3) 2(log 2x23)log x8log 2x212(log 2x4)224，而 log2x44,7，则(log 2x4) 2412,45，yf(x) 2f(x 2)的最大值为45.辨析：函数 f(x)的定义域为1,8，则 f(x2)的定义域应为1,2 ，上面的解法忽视2了定义域的变化，从而扩大了值域.正解：函数 yf(x) 2f(x 2)的定义域是由 1x2 确定，yf(x) 22f(x 2)(log 2x4) 24，而 log2x0, ，则(log 2x4) 2412, ，yf(x)32 1
7、0542f(x 2)的最大值为 .1054特别提醒：复合函数导致定义域变化最容易被忽略，在解相关题目时，要重点先分析定义域，做到解题时无“后顾之忧”.三求函数的解析式中的错误例 4 已知函数 f(x23)lg ，求 f(x)的解析式.x2x2-4错解 1：由 0，得 x2 或 x2，函数 f(x)的定义域为x|x2 或 x2.x2x2-4错解 2：令 x23t，是 x2t3，代入函数式可得：f(t)lg ，由 0，t+3t-1 t+3t-1得 t3 或 t1，函数 f(x)的定义域为x|t3 或 t1.辨析：错解 1 把函数 f(x23)与 f(x)混淆为同一函数.若令 F(x)f(x 23)
8、lg，令 x23t，得 f(t) ，就会发现 F(x)与 f(x)是两个不同的函数，它们具x2x2-4 t+3t-1有不同的定义域和对应法则，因此求的是 F(x)的定义域，而不 f(x)的定义域.错解 2 在用换元法时没有考虑自变量 t 受到 x23 的取值范围的限制.正解：正确的解法为：先求 f(x)的表达式，令 x23t，因 0，故 x2 或x2x2-4x2，则 x2t3，此时由抛物线性质知 t3，f(t) ，由 0，得t+3t-1 t+3t-1t3 或 t1，此时 f(x)的定义域就是 t 的取值范围，故 f(x)的定义域为x|x1.特别提醒：本题所求复合函数外层函数定义域，根据复合规律
9、知实质上是求内层函数的值域.因此，解答复合函数问题时，分清内、外层函数是关键.四判断函数单调性中的错误例 6 试求函数 f(x)log 4(76xx 2)的单调递增区间.错解：设 ylog 4u，ug(x)76xx 2(x3) 216，则对二次函数 ug(x)，当 x3 时为增函数；当 x3 时为减函数，又 ylog 4u 是增函数，故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(,3.辨析：上述解答中就是忽视了原函数的定义域x|1x7，因为函数的单调区间是函数定义域的子区间.正解：设 ylog 4u，ug(x)76xx 2(x3) 216，则对二次函数 ug(x)，当 x3 时为增函数；当
10、 x3 时为减函数，又 ylog 4u 是增函数，且由 76xx 20 得函数的定义域为(1,7)，于是函数 f(x)的增区间是(1,3.特别提醒：由于函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域，五、求解反函数问题中的问题例 5 已知函数 f(x)的定义域为 (，0)内存在反函数，且 f(x1)x 22x，求 f1 ( )的14值.错解：因为 f(x1)x 22x (x1) 21，所以 f(x)x 21.由 x21 ，得 x ，故 f1 ( ) .14 14辨析：上述解法忽视了“f 1 ( )就是原函数定义域中一个值”这一隐
11、含条件.14正解：因为 f(x1)x 22x (x1) 21，所以 f(x)x 21.由 x21 ，得 x ，又x0，故 f1 ( ) .14 14特别提醒：在求解反函数问题时要注意原函数与反函数的定义域与值域的互换性.六作函数图象法中的错误例 7 作函数 y2 的图象.错解：由 y2 2 ,故函数 y2 的图象如图所示.1x辨析：本题函数的解析式转化为另一种解析式时定义域或值域发生了变化，作出的图象当然不是原函数要求的图象了.原函数 y2 的定义域是 x0 的全体实数，值域是y0.化简后的函数 y 的定义域是 x0，值域是 y0，扩大了值域，因而原函数的图1x象显然是错误的.正解：原函数 y
12、2 2 | |，从而依据对称变换可得原函数的图象如右图1x所示.特别提醒：在对函数式进行变形时，必须注意定义域的变化以及一些恒等式成立的前提条件.七利用指数与对数函数的图象判断方程根中的错误例 8 求方程 x22 x 的解的个数.错解：令 yx 2，y2 x，在同一直角坐标系内作出它们的图象，如图所示，观察图象可得 yx 2 与 y2 x 的图象有两个交点，所以方程共有两个解.辨析：本题在画图时没有将两个图象的交点完全作出，这是受画图的局限性而致解答失误的.正解：由于当 x0 时，2 x 增长较快，故当 x2(x2 是方程的一个解)时，两图象还有一个交点(此时交点的横坐标为 x4).故方程共有三个解，且分别为2,4 及一个负数的解.特别提醒：用图象辅助解题，具有直观简捷的作用，但同时也须注意：作图应规范，图形应大致准确地反应变化的趋势.
