1、1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2.公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na。1,()na例 1已知数列 的前 项 和 满足 求数列 的通nn 1,)(Snna项公式。解：由 1211aSa当 时，有 ,)(2)(21nnnn 1(),n21， .12a2()nnnna.)1(233)()(11nnn 经验证 也 满足上式，所以a )1(23nna点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能11Snn合写时一定要合并例 2 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列13n13na132n
2、是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2a223，所以数列 的通项公式为 。()nna()nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数132n132na列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数2na ()n列 的通项公式。n3.累加法：若 求 ： 。1()nafna1221()()()nnaaa (2)n例 3. 已知数列 满足 ， ，求 。21 n解：由条件知： 1)(121 nnan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n )()( 13412 naaa)1()所以 nn1，2an234.累乘法：已知 求 ，用累乘法：
3、。1()nfna121naa ()n例 4. 已知数列 满足 ， ，求 。na31n1解：由条件知 ，分 别令 ，代入上式得n )1(,3,2个等式累乘之，即)1(n13421naa n1432an又 ，5、待定系数法1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转1nakb1nnakb,k化为公比为 的等比数列后，再求 。 解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，1n )(1taptnn pqt1再利用换元法转化为等比数列求解。例 5. 已知数列 中， ， ，求 .na132nan解：设递推公式 可以转化为 即n )(21tatn.故递推公式为 ,令21tn 3n，则 ,且3nab43
4、1ab21nab所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 则 ,所以nb41 124nnb.32a 解法：该类 型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式1nnk两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得：nqqapnn11 nbnqa再应用 的方法解决.。bpnn1 1nkb例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na解：设 115()nnxx将 代入式，得 ，等式两边消去123nna 123525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得155nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1235na152()nnaa从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列5nan对数变换法迭代法数学归纳法换元法
