1、1求数列通项公式的十种方法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，123n13na132n2na12以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为3 ()2n n。1()2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再123nna132na2na直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。()nn二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12nn123212()()()()2()
2、()1naaaann 所以数列 的通项公式为 。na2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出12na12na，即得数列 的通项公式。12321()()()()nn 例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。a13nn， n2例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11323nnaa， na三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n3132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nn
3、a评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出1()nna12()5nn，即得数列 的通项公式。13212naa na例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naa，四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na4解：设 1152(5)nnnaxax将 代入式，得 ，等式两边消去 ，得2313525n nnxax2na，两边除以 ，得 代入式得 135nnn,则 1(5)由 及式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以 2160a0na15nana1为公比的等比数列，
4、则 ，故 。152n12n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列13n152()nn是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。5na5aa例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11324nn， n解：设 112()nxyxy将 代入式，得354na13(2)n nnxyaxy整理得 。(2)令 ，则 ，代入式得534xy52xy112()nnnaa由 及式，530得 ，则 ，2na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此5n1，则 。13n52nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而134na1
5、1523(52)nnnaa可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公52na n 式。例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n21 1345naa， na5五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得51237n， 0nn， 5123nalg5llga设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去 并整理，得11 lgl3g2()5(lg)n nnyaxy5lgna，则(lg3)25xnyxy，故l5g2xyl4g3216y代入 式，得 11 1l
6、llg3lg2l()5()444164n naa 12由 及 式，1lg3lg2l3l271046612得 ，ll04na则 ，1lg3lg2l()16544na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则lg3lg216nlg3l27416，因此llllg()44nna 61111 16 6444411 661444455lg3l2lg3lg2lg(7)5llll(32)lg(32)lg7(nnnn nna1641)l32nnn则 。11545647nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列 是等1lg3lg2lg3lgl()5()41
7、64464n n lg3lg24164na比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。ll1na n六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nn2(2)13(2)13()()112(3)2(1)(1)123(1)(2)13()!nnnn nnnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的7通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nna1lg3()2lgnnaa1l3()2nn由累乘法可
8、推知 ，从而 。(1)2!13212lgll l5nnn 1()3!25n七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228()3n1921223422(1)824583()(3)9148018aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。12()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak8222222222(1)8(1)3()13()8(1)()()31()kkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk根据（1） ， （2
9、）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2()nb故 ，代入 得211()nna1(412)6nnnaa221()4()46nnnbb即 2213n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn9可化为 ，13()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此n11432413a21，则 ，即 ，得 。232()nnb()nb()3na
10、1()423nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知14nanb1nnb数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。3nb3a九、不动点法例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1124nna， na解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。因为214x20x123x， 214()xf。所以数列 是以124124()633192733nn nnnnnaaa 23na为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则 。124a91 1()9nna12()9nna评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根
11、 ，214()xf41x123x，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数列 的通项公式，最后1239nnaa 3na23na求出数列 的通项公式。例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11723na， na10十、特征根法例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11123()nnaa， na解： 的相应特征方程为 ，解之求特征根是 ，所113(2)nn230123535，以 。125nac由初始值 ，得方程组111223535()()cc求得125c从而 。535235()()nnna评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 ，从而可得数列 的通项公式。21c， na
