1、数学金融学第八章总结8.1 证券市场的描述一、预备知识设 为概率测度空间,PF(一) 随机变量的概率测度积分定义 1.0.0 (1) . (1.0.1)1AniiXdaP(2) 若 为非负, ( ) (1.0.2)XlimkkA1| 0,1kinikiXaIk(3) 若 可测,设 , ,若 存在,则称该值为 在概00,XIIXdPX X率测度空间 上的积分,记 . (1.0.3)PFdP注: 1 0 ,20 设 .EdR,RxFxFB30 离散型, ;连续型, .X1iixXREXfd40 AAIIP(二) 随机积分1.随机积分定义 1.0.1 设 、 ( , 或 )为随机过程,令tXtY0T
2、1iniiIXY其中 . 0111iiniiiiissassssY的关于 随机积分 存在, . (1.0.4)tt 1max0liintssaXdI.0,tT2. Lebesgue 积分定义 1.0.2 的 Lebesgue 积分 = 存在. (1.0.5)tXtsaY01liiiXsa3. Ito 积分定义 1.0.3 称一维随机过程 ( , 或 )服从标准的始于 0 的一维tw0TBrown 运动(简称一维标准的 Brown 运动),若 满足t(1) 具有独立增量,即对任何 , 相互独立;tw01kt 1|iiittwk(2) , 在 上连续;(3) , ;(4) .:0,TtNt:0T0
3、注: 若 服从 Brown 运动,则增量 具有平稳性,即 与 分布相同,记为t ttttttwtdt t定义 1.0.4 设 是二阶矩过程, ( , 或 )为一维 Brown 运动,若|XtT存在, 关于 的 Ito 积分 , . (1.0.6)tsaXwttWtsaXdw0(三) Ito 过程和 Ito 引理1. Ito 过程(1) 设 d 维随机变量 取值于 Rd .1,Tdtwtt设 服从 d 维正态分布 ,其中 , twtN1,tttcovttw2 ,;, ,0.iijij ijjijdijjtitt tt 则, ;1, 11, exp22t x Td ttdtfx x ; 为 与 的
4、相关系数, ;2,ititNi: ijiwtjtij 为对角矩阵 , 相互独立;t0ijt1,d(2) 标准的始于 0 的 维 Brown 运动.d定义 1.0.4 称 ( )维随机过程 服从标准的始于 0 的 维 Brown 运动21,Tdttt d(简称标准的 维 Brown 运动),若 满足t(1) 具有独立增量 ,即对任何 , 相互独立;tw01kt 1|iiittwk(2) , 在 上连续;(3) , ,I 是 阶单位矩阵;(4) .:0TItN:0tT0w注: 10 , .20 , .It2it,iii iwtNt:T30 相互独立d(3) Ito 过程 : 定义 1.0.5 若随
5、机过程 满足tX(1.0.6)1,ttjtjdXabXdt( )1,ttttjtjjabwttot其中, 为带域流的概率空间 上的一个 d 维标准 Brown 运动,其1,Tdw 0,iPF 中 为 Brown 运动 生成的自然 -域流.则称随机过程 为 Ito 过程( 广义布朗运动).0iF tX2. Ito 引理定理 1.0.6 (Ito 引理)若随机过程 为广义 Ito 过程 ,且 具有二阶连续偏导数,则tXfxt. (1.0.7)221 1, ,d dt jt jtjt t tf f fdfaXbbwX 证明: 222,ffffffxxxxt tt. (1.0.8)22,t t t t
6、t t tXX 1,dttjtjdabw,其中 为 的高阶无穷小.,ttjtjttt令 ,则1 1,d dtjtjt jtjgaXbXaXbX . (1.0.9)22t t 21,dt jtjt, (1.0.10)3/21, ,ditjtij tjtjj jbXaXbt 又 222 2,varar;0,vvar,.j jjijij ijijEtttEtij,其中 为 的高阶无穷小1.0221,djtgbXtt1.09221,dtjtot 1.08 1,dt tjtjtf ffabXwttX 2 2221,djt tt tffbot Xt 221 1, , ,d dt jt jtjt t tf
7、f fabboXX .221 1, , ,d dt jt jtjt t tf f fdf Xw 例 1.0.7 , 均为正常数几何布朗运动., . (1.0.11)0;.ttwXcc0,T , 但ttttt tdXd d.0 00lnlTTtT t Tw 可以证明满足(1.0.11) 的 有 , .取 ,则t0t,lnfxt,lnttfX21ltt t tttffdfXXddX21tdw2 200001lnlnTTTTt t Tdtww. (1.0.12)2211TTwTece(四) Holder 不等式定理 1.0.8 (Holder 不等式 ) (1) 若 在 上 Lebesgue 可积,
8、则,fxg0,T, . (1.0.13)11000TTTpqfsgdfsdsd1pq(2) 若 , 则, ,pEXPEYP. (1.0.14)1111pqpqYdXXdYP (3) 若 在 上 Lebesgue 可积, ,则,fxg0,T,. (1.0.15)110 00T TpqEfsdEfsdEfsd证明: (1) 11/ /Tpqpqffxgx00 011expln/ln/TT Tp qp qfsfxdgsxds l/ /ff00 011/ /1TTTp qp qfsfxdgsxds 所以 11000TTTpqfsgdfsfs(2)证明略.(3) 111.3000TTTpqfsfsdfs
9、dpqEfgdsEff .1 11.040 0p qT Tp qfsfsd: :1100TTpqEfsdEfsd例 1.0.9 证明 , (1.0.16)10|TqENsPds1220|qTENsd21120|qqTPsd其中, .21证明：对于任何 有2110|TqENsPds1 212 221 1.05 0|q qqqTTENsdEPsds:. 1220|qTs21120|qqTPs二、基本假设和债券、价格过程1. 基本假设定义 1.1 称市场 M 为无摩擦的,如果(1) 资产的交易时间和额度是连续的;(2) 不存在交易费和税收;(3) 对资产的交易没有约束(比如,可以卖空等) ;(4)
10、存款与借款的利率相同.2. 债券、股票价格过程记债券的价格过程为 ,假定: , (1.1)0P00,1dtPtrdt称为时刻 t 的短期利率.我们记股票的价格过程为 , .在 内满足 ( 过程):)(tr i2,n 0,TIto(1.2) 1,;0.iiiiijjjiidbtttwnp在方程(1.2)中 , 为带域流的概率空间 上的一个 d 维标1,Tdw 0,tPF 准 Brown 运动 ,其中 为 Brown 运动 生成的自然 -域流, 为第 i 种股票的平均回报率,0tFib称为股票价格的波动系数(它表示第 j 种不定因素 对第 i 种股票价格过程的影响), pi0 第ij jwi 种股
11、票的初始价格 .我们记 ,由上面(1.1)和(1.2)可知,当1,.,Tnijndb和 给定时,债券和股票的价格过程就完全确定了.因此,当 和 给定时,人们就,rb rb认为一个(连续时间的) 证券市场给定了.我们将用 M 来记这个市场以强调市场对 和,r rb的依赖.00,;R:0,R| ,pmmtTT是 适 应 的F FL 0|()|TpEsd;1;0,:,| ,t是 适 应 的 有 界 的;0;0;,1pmqmppFFL. (1.3)1,RRqTTL现在,我们对市场 M 引人三种可能的假定:,rb(M1) 为 -循序可测的有界随机过程 .,:0ndr b0tF(相空间 ,对 均有 )EA
12、,:,AtuXuF(M2) 为有界可测函数.,:RndT(M3) 为常数.ijr在上述条件中, (M1)最弱, (M2)其次, (M3) 最强,以后,我们总假定市场 M 至少满足(M1).,rb4. 债券、股票价格的解析式容易知道,在(M1)条件下,常微分方程(1.1)存在惟一解:. (1.4),)(0)(0TotetPtdsr在 引理中取 ,则 (注意由于 ,我们可以证明Iolnfx,ln,1iifPttin0ip,从而 有意义.).由 及(1.0.7)知itlnit 11diii ijjijdbPtwn221 1l diiiij iijjj ji i if f fdPttttttP , ,
13、 (1.5)211ddi ij ijjj jbtttw0,tTin所以,在(Ml) 条件下,(1.2) 的强解为. (1.6) 20011,1ddt tiij ijjbsstdsiiPtpeti从上面(1.6)可见 ,当 时,必有 .进一步,我们不难证明:i 0)(Pi(1.7)100,;,1.ii TRinFL需要注意的是,一般而言,对 , 和 未必是有界的,所以 (1.7)第二式中出现的是010,而不是 .0(;)TRFL (,;)F 以后,我们称(1.8)0()01trsdtePt为贴现因子过程,并且对任何 -适应过程 ,我们称 为相应于 的贴现0tFfff f过程.于是,我们称 为贴现
14、资产价格过程,显然 .回忆第 5 章,我们知道,这意味着iiP 01P债券己被取作计价单位.由(1.2)和(1.8) 知 00 0() ()1t t t drsdrsdrsi ii iijjjetetbettw 00()()t trsdrsdi iPPt0 0() ()1t t dsii iijjjetbet,iii iijjjdtrtwt1in故,贴现股票价格过程 满足:iPn(1.9)1;0. diii iijjjiittbrtPtdtp 类似于求解(1.2), 我们知道,在(Ml)条件下, (1.9) 的惟一 强解由下式给出:, (1.10) 20 011,1ddt ti ij ijjb
15、srtsswiiPte tTin并且也有:. (1.11)10,;ii TRinFL 三、证券组合过程和财富过程现在我们来考虑一个投资问题:假定投资者以初始财富 调整在时刻 t 进入市场 ,该投资者可以在时间区间 内选择股票y 0,T和债券的持有量并可以连续调整.记时刻 t 投资者持有第 i 种资产的股数为 , 并记时iNt1,n刻 t 投资者的财富总市值为 ,则有Yt. (1.12)0niiiYNtP我们称 为一个证券组合过程(也称之为投资策略), 为一个财富过程.需1,n Y要提请读者注意的是,每个从 都是允许取负值的,这表示卖空或借款是允许的。直观地想象,每个ti都应该是一个阶梯函数,并
16、且是右连续的,因此 应该属于的最自然的函数类是右连续的)(ttiiN有界变差函数.由干有界变差函数是几乎处处连续的,故每一点的左右极限总是存在的.所以,经过修正以后,总是可以假定似概率 1,过程 在每一点右连续且存在左极限.我们常用 RCLL 表示右连itNt续且具有左极限的函数,现在引入 00,;:0,| ,pnntBVTRTR是 适 应 的F F, , (1.13)BV0CL|()|pEsd1其中,对任何(确定性函数) ,:n, (1.14) BV10110|su| ,kii kittttT 由 BV00TTdsd 11.3BV00ppTpsds11BV0pTpsd11BVBV0 0pTT
17、pEsdEsd, (1.14.3) 111.4BV0 pppTpEs BV0pTps故. (1.15)1,;,;,1pnnBVRRpFF除了以投资者在时刻 t 持有资产的股数作为证券组合过程外 ,我们还有另外一些描述证券组合过程的方式.不同的情况下用不同方式来表示证券组合可以给我们的讨论带来方便.记为该投资者在时刻 t 持有第 种资产的市值,则0itii. (1.16) 0niYt我们也称 为一个证券组合过程,易知 与1,.,n 01,.,n可以由下述关系相互确定:01,nN. (1.17) ,0iiittPitT由于每个 允许取负值,每个 当然也允许取负值,比较自然的每个 所属的空间应当i
18、it i是 ,其中, 为某个常数.由于 未必是有界的,因此,当 时,我们;pTRFL )1piP iN0;pTRFL 不能保证 ,反之依然, (因为 也不是有界的).所以,在 的框架下,0;iF 1i和 缺乏理想的对等性.下面的命题改观了这种情形,并且还揭示了 和 之间的一些iN ii重要关系.命题 1.2 假定(M1)成立,(1) 对于 当且仅当 ;1p0,;piNTRFL 0,pi TRFL (2) 如果 ,则2i, (1.18)0,;tiisdPC 此处 2 0,;:0, ,mmtTRTR是 适 应 的FL F, (1.19)0,ax|()|,1pttCEt 对 ,下述关系式成立: 20
19、,;iNTRFL10,;BVTRF, (1.20) 00, tiiiiiiiitPsdNtPNsdPt 证明：(1) 对于任何 由(1.7), (1.17)和 Holde 不等式(1.0.15),我们有,12pq10|TqiEs 10|TqiiEss1 212 221 11.50 0|q qqqTTi iNdPd:, (1.21)1220|qTiEs 21120|qqTiEs从而, 可以推出 .反过来的证明是类似的,(1)得证.0,;pi RFL 0,;pi TRFL(2) 由(1.2)我们有, (1.22)1,1diiiiiiiijjjNdPttbdtNPttwin 因此,注意到(M1),当
20、 时, (1.22)右端的第一项通常的 Lebesgue 积分存在；而20;i TRFL 第二项的 Ito 积分也存在,因为201dTiiijjEss 220|iiKEsds, (1.23) 222 20 0()()TTi iKNPd 其中 K 0 为一个绝对常数.如果 ,则对任何 的分割01;0,;niNTRBVTRFFL 0,t,我们有ttk10)()(iiii P11()()kijijijijjtt1kijijijjNtt1()kijijijjPt, (1.24)0()tiisd,0)(tiisdN上式中,第一项收敛是利用(1.2)以及 Lebesgue 积分和 Ito 积分的定义.这项
21、收敛是在中的(当 )时,所以,也可以认为是以概率 1 收敛的.第二项的收敛是对几2;TRFL |max1jj乎所有的 .由 Lebesgue- stieltjes 积分的定义,于是,(1.20)成立.上面(1.20)左端 Lebesgue- stieltjes 积分的那种写法是出于对端点的考虑.由命题 1.2 可知当 有界时,对所有的 ,成立 .在以后的讨论中,我们iN )1p0,;piTRFL 将分别采用 和 作为 和 所属于的空间.201,;0,;nTBVTRFFL 0;TRFL iNi此外,如果记 为时刻 t 投资者持有第 i 种资产的市值占总财富的比,则)(ti(1.25) 0,;10
22、.iinitYit我们有时也用 作为证券组合过程.需要指出,只有在一定的条件下人们才能1,n用来描述 投资者的证券组合过程.比如,我们至少要求财富过程 满足:01,n Y(1.26 ) YttT关于此点,我们稍后还将讨论.另外,每个 也允许取负值.上面(1.25)中的第二式并不表明it是一组凸组合系数。比较自然的每个 所属的空间似乎应当是01,n i,不过,我们将会看到比 稍大一些的某个空间将更合适.;RFL 0,;TRFL 8.2 证券组合过程的自融资性一、 证券组合过程 的自融资性01,nN定义 2.1 在给定时间区间内,称投资者的投资行为( 或证券组合过程)是自融资的,若在 内,除0T了
23、初始财富外,该投资者没有资金流人或流出市场( 即不再另有资金注人也不从市场中抽取资金) .用数学语言可以这样来描述: 称证券组合过程 01,nN 201,;nTRFL为自融资的,假如0niiiiiNtPsN0ntiisidP+ , . (2.1)1.20()()tsrd1 1()()()t diii ijji jsbTts0当 时,1,;,;ni TRBVTR FFL (2.1) 1.200n nt t tiiii iiss si iNPNdP 00,tiisdt0,nnt sii iidstT. (2.2)0,iiPtdNtT我们可以这样来理解(2.2): 是投资者在时刻 t 持有第 i 种
24、资产份数的调整量,而)(tNi )(tPi为第 i 种资产份数调整后市值的变化量.在没有另外的资金注入或抽出时,增加某种资产的持有)(tdi量只有通过减少其他资产的持有量来实现,而这种调整不影响总的资产市值,也就是说,在任意时刻,股票与债券的持有量的变化不影响其总资产的市值.从另外一个角度来看,在任意一个时间段0Tt,只有所持有资产价格的变化才会给投资者的总资产带来变化 ,这恰恰是(2.1) 中第一个等式所表达的意思.值得注意,为了使得(2.1)有意义,我们只需假定 ,而为了使01nN 201,;nTRFL (2.2)有意义,我们必须假定当 .尽管这两个条件互不包含,但101,;nNBVTR
25、F 前者用起来更方便一些,因此,我们采用了定义 2.1.我们可以将上述关于证券组合过程 的自融资性“翻译”成关于证券组合过程0,的自融资性.事实上,当(1.17)和(1.2)成立时,(2.1)等价于下式:01,.,n+)(stinii drts)(0dbitsini )(1, , (2.3) 1jdjijTt于是,类似于定义 2.1,我们可以引人下述定义.二、 证券组合过程 的自融资性01,.,n定义 2.2 证券组合过程 称为自融资的,假如(2.3) 210,;nTRFL 成立.根据定义 2.1 和 2.2,我们知道,假定一个证券组合过程本身属于一个较小的空间.如果它作为一个较大空间的元素是
26、自融资的,则它作为较小空间的元素也是自融资的.自融资条件(2.3) 表明 中的元素只有满足某种约束才能成为自融资的。这对以后的210,;nTRFL 论论是不太方便的,下面我们试图解除这种不便.若记 ,则 ,(2.3)等价1,.n(,)Tn(2.3) 0 0()()1(tttsrd, (2.4) ,),tsbdsd再由(1.16),可得00()()(0),1trYt, (2.5),()tsbdsds 如果我们记, (2.6),(0)(),1tYt0(),(),()tsbdsds 则易见, 当 时,2;nTRFL (2.7)(),t,且(2.5)变成, (2.8)00()tsrd,(0)tY这是一
27、个关于 的(线性)积分方程,我们来求解它.为此, 记(2.9)Tttt )(0 00(),;()()()(,(0)trrrsrdtY则(2.8)变成(2.10)(),;0.tttY从而(2.11)00()()(,0)(,t strdrdesdstT . (2.12),tY0) (0),t strdreYdstT这就是(2.8)的解 .由(2.7) 可知 ,从而,我们得到下述命题.(;,2RLF命题 2.3 设(M1) 成立, 对任何的 , 如果按(2.12)方式定义 , 则()2;nTF 0()是自融资的。0(),210,;nTRFL命题 2.3 告诉我们,对于任何 ,只会存在惟一的 ,使得(
28、)20,;n 0()2;TRFL 是自融资的.值得注意的是, 在空间 是任意的，没有额外0(),21;n ()2,;nTRFL 的约束,这一点是很重要的.为方便起见,以后我们称 为一个证券组合过程.此时意味着我们讨论自融资证券组合过程 ,其中, 由(2.12)给出,需要指出的是我们不讨论 的自融01(),.,()n0 ()资性.由命题 2.3,我们可以得到证券组合过程 的相应结果.事实上,由(1.17)和(2.6)1(),.()nN可知(2.12)等价于 0 0()(),(),tNtPYtsbdsds 0()1()()trdess = +()(1tini01()ntiiiiNPs 1sjdjij0()trdesYiii+ , (2.13)01()ntiiiiNPbd ,)(1dsjjijTt0因此，我们得到 的表达式(注意(l.8): 00()()(ttsrYt 0()1()()tnrdii iiiNtPesNPds 01ntiiiiNPsbdsjjij
