1、1新高一函数知识一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、 B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B的映射，记作 f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有
2、意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；2 求函数定义域的两个难点问题（1） ()x已 知 f的 定 义 域 是 -2,5求 f(x+3)的 定 义 域 。（2） (21)x已 知 f 的 定 义 域 是 -1,求 f()的 定 义 域三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为
3、一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数四函数的奇偶性1定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为偶函数。x()fxf2如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为奇函数。x()(fxf2.性质：y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶
4、 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2 要 关 于 原 点 对 称 3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 在 M 上是减函数；若xgfy xgfyf(x)与 g(x)的单调性相同，则 在 M 上是增函数。xgfy六函数的周期性：1 （定义）若 是周期函数，T 是它的一个周期。)0()(Txff )(xf说明：nT 也是 的周期f（推广）若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期)()(bx
5、a)(xfab2若 ； ； ；则 周期是 2fxf)(1faf)(1)xff)(fa七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)；（4）f -1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上，则 (b,a)在 y=f-1(x)的图象上；（6）y
6、=f(x)的图象与其反函数 y=f-1(x)的图象的交点一定在直线 y=x 上;八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴 ，顶点坐标abx2)4,2(2abc2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的 的取值。)0(2acbxa 0yx3一元二次不等式 的解集(a0)0(2cbxa九指数式与对数式1幂的有关概念(1)零指数幂 )0(10a(2)负整数指数幂 ,nnN(3)正分数指数幂 ；0,1ma(5)负分数指数幂 1,nnman (6)0 的正分数指数幂等于 0,0
7、的负分数指数幂没有意义.2有理数指数幂的性质10,rsrsaQ20,srrasQ30,rrabbrQ3根式根式的性质:当 是奇数，则 ；当 是偶数，则nnnn4对数(1)对数的概念: 如果 ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记)1,0(aNab )1,0(logaNba(2)对数的性质：零与负数没有对数 0loga1loga(3)对数的运算性质logMN=logM+logN 对数换底公式： )10,10,(logl maNama 且且对数的降幂公式： ,lna 且十指数函数与对数函数1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1) 互为反函数2. 比较两个幂值的
8、大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：43、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。十函数的图象变换（1） 1、平移变换： （左+ 右- ，上+ 下- ）即 kxfyxfy hkkhh )()(,0;,0,;, 上 移下 移 左 移右 移 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变） )()( )()( )()( 1 xfyxfy xfyfxy ff xyxxyxyx 轴 下 方 图 上 翻轴 上 方 图 ， 将保 留 边 部 分 的 对 称 图轴 右 边 不 变 ， 左 边 为 右原 点轴轴十函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增12()0fxf单调递减12()ffx2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：奇函数()0fx偶函数3函数的凸凹性：凹函数（图象“下凹” ，如：指数函数）1212()(xfxff凸函数（图象“上凸” ，如：对数函数）
