1、求轨迹方程的十种技法1 直接法根据公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例 1 已知动点 M 到定点 A（1，0 ）与到定直线 L：x=3 的距离之和等于 4，求动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解设 M（x,y）是轨迹上任意一点，作 MNL 于 N，由 MAMN 4，得 4|3|2)1(xyx当 x3 时上式化简为 y 2=12(x-4)当 x3 时上式化简为 y 2=4x所以点 M 的轨迹方程为 y 2=12(x-4) (3x4)和 y2=4x (0x3). 其轨迹是两条抛物线弧。2 定义法圆锥曲线是解析几何中
2、研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。例 2 在相距离 1400 米的 A、B 两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差 3秒，已知声速是 340 米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？解 因为炮弹爆炸点到 A、B 两哨所的距离差为 3340=1020 米，若以 A、B两点所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上1250725103 转移法若轨迹点 P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点 Q（x 0, y0），则可先列出关于 x、y, x0、y 0的方程组，利用 x、y 表示出 x0、y 0，把 x0
3、、y 0 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程。OYxNMA例 3 已知 P 是以 F1、F 2为焦点的双曲线 上的动点，求 F1F2P 的重心1926yxG 的轨迹方程。解 设 重心 G（x, y）, 点 P（x 0, y0）， 因为 F1（-4，0），F 2（4，0 ） 则有 , ， 故 代入 304yxyx3926yx得所求轨迹方程 （y0）1269x4 点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x 1,y1）， B（x 2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由
4、于弦 AB 的中点 P（x, y）的坐标满足 2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线 AB 的斜率为 ，由此可求得弦 AB 的12xy中点的轨迹方程。例 4 已知以 P（2 ，2）为圆心的圆与椭圆 x2+2y2=m 交于 A、B 两点，求弦AB 的中点 M 的轨迹方程。解 设 M（x, y），A（x 1, y1），B（x 2, y2）则 x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由 ， mx两式相减并同除以（x 1-x2）得, 而 kAB= yxyxy21 21xykPM= , 又因为 PMAB 所以 kABkPM=1x故 化简得点 M 的轨迹方程 xy +2x- 4y=0121y5
5、 几何法运用平面几何的知识如平几中的 5 个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。MYOPBAX例 5 如图，给出定点 A（a,0）(a0)和直线 L：x=1, B 是直线 L 上的动点，BOA 的平分线交 AB 于点 C，求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系。解 设 B（-1，b ），则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=bx , 设 C（x,y），由点 C 到OA，OB 的距离相等，得|y|= 21byx又点 C 在直线 AB 上，故有 y= )(ax由 x-a0 得 b= 代入 化简整理得 y 2(1-a)x2-
6、2ax+(1+a)y2=0ax)1(若 y0, 则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (00)上原点 O 以外的两个动点,且 OAOB,过 O 作 OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程.解 1 (常规设参 )设 M(x,y)，A(x 1,y1), B(x 2,y2),则（） xpyyxypxy42162124由 A,M B 共线得 则)421(1pyxy 214yxyp把（）代入上式得 化简得 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x0)解 2 (变换方向 ) 设 OA 的方程为 y=kx (k0) 则 OB 的方程为 xky1MOAB由 得 A( ) ， 由 得 B (2pk
7、 2,-2pk)pxyk2kp2,pxyk21所以直线 AB 的方程为 )(21xky因为 OMAB,所以直线 OM 的方程为 xky21即得 M 的轨迹方程: x 2+y2-2px=0(x0)解 3 (转换观点 ) 视点 M 为定点,令 M( x0,y0), 由 OMAB 可得直线 AB 的方程为 , 与抛物线 y2=4px 联立消去 y 得0(0xy,设 A(x1,y1), B(x2,y2) 则)242pxy )20(41yxp又因为 OA OB 所以 故 = 即 216py)20(4yx16p0420pxyx所以 M 点的轨迹方程为 x8 韦达定理法例 8 过抛物线 y=x2的顶点 O,
8、任作两条互相垂直的弦 OA,OB, 若分别以OA,OB 为直径作圆, 求两圆的另一交点 C 的轨迹方程解：设 A,B 两点的坐标分别为 ( ), ( ) , 则由 OAOB 得 t 1t2=121,tt因为以 OA 为直径的圆方程为 012ytxyxytx同理以 OB 为直径的圆方程为 02t而点 C(x,y)满足 ,由知 t1,t2是关于 t 的二次方程 yt2 + xt- x2- y2= 0 的两根,根据 t1t2=1 及韦达定理得 , 即有 x2 + y2 - y =0(y0)yxt9 复数法将直角坐标平面看成复平面,利用复数的几何意义求解动点轨迹方程.例 9 边长为 m 的正三角形 A
9、BC 的两顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上滑动, A .B .C三点按顺时针顺序排列，求点 C 的轨迹方程.解: 视 xoy 为复平面 ,设 C(x,y), A(a,0) , B(0,b)则向量 表示的复数为 x+yi,向量 表示的复数为 a,向量 表示复数 a+bi,OCOAAB把向量 按顺时针方向旋转 就得到向量 ,所以向量 表示的复数为AB3C,由 得)3sin)(cobiaC)3sin)(cobiayix由复数相等的条件得 而 a2+b2=m2yxbabyax323所以点 C 的轨迹方程为 42mxyx10 极坐标法某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立
10、极坐系较为方便地求得轨迹方程.例 10 已知椭圆 与直线 L: , 1624yx 182yxP 为直线 L 上的任一点,OP 交椭圆于点 R,Q 是 OP 上一点, 且满足 |OP|OQ|=|OR| 2求动点 Q 的轨迹方程并指出轨迹的曲线.解 以原点为极点,ox 轴正方向为极轴建立极坐标系则椭圆的极坐标方程为 ,直线 L 的极坐标方程162sin24cos,则 ,18sin12cosi348|RO sin3co24|PO设点 Q(,), 由|OQ|OP|=|OR| 2得 2si8sinco24整理得 即 2x2+3y2=4x+6y(x,y 不同为 0)si6co4sin23cos2O LPR
11、Q故 Q 点的轨迹方程为 (x,y 不同为 0),其轨迹是去掉原点的一个1352)(2)1(yx椭圆.二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。例 1：已知定点 A(2,0)，点 P在曲线 x2+y2=1(x1)上运动，AOP 的平分线交 PA于 Q，其中 O为原点，求点 Q的轨程。三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。例 1：如图，过定点 A(a,b)任意作相互垂直的直线 l1与l2，且 l1与 x轴相交于 M点，l2 与 y轴相交于 N点，求线段MN中点 P的轨迹方程。即所求点 P的轨迹方程为 2ax+2by=a2+b2例 2：过抛物线 y2=8x的焦点 F的直线交抛物线于 A,
12、B两点，过原点 O作 OMAB，垂足 M，求点 M的轨迹方程。解：设 M(x,y), OMAB，F(2,0) -=0 且-=(x,y),-=(2-x,-y)x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0点 M的轨迹方程为 x2+y2-2x=0类型一：直接法1. 已知两定点 、 ，且 ，动点 到 与到 的距离比为常数，求点 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.点 M 的轨迹方程是点 M 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.【变式 1】已知两定点 、 ，且 ，动点 满足： ,求点 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.【答案】 点 M 的轨迹是圆 .【变式 2】 已知两定点 、 ，且 ，动点 满足：直线
13、 与 的斜率之积为常数 ,求点 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 .【答案】 点 M 的轨迹是除去顶点 的椭圆 .【变式 3】 如图所示，已知 P(4，0)和圆 ，A 、B 是圆上两动点，求矩形 APBQ 的对角线的交点 R 的轨迹方程.【答案】设点 R 的坐标为(x,y)，在 RtABP 中，|AR|=|PR|= ；又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在 RtOAR 中，|AR| 2=|AO|2|OR| 2即|PR| 2=|AO|2|OR| 236(x 2+y2)所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即x2+y24x 10=0故点 R 的轨迹方程：x 2+y24x10=0.
14、【变式 4】 已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P的轨迹方程。【答案】故所求的点 P 的轨迹方程是 或 。类型二：定义法2. 如图所示，已知直线 于点 M，点 ，曲线段 AB 上的任一点到的距离与到点 N 的距离相等，若 , , , ,求曲线段 AB 的方程 .解析：以 MN 中点 O 为原点,MN 所在直线方程为 x 轴建立直角坐标系, 由题意确定所求曲线段是以 N 为焦点， 为准线的抛物线的一部分设曲线方程为 ,点 、,则 , ,由 得 ，中，由 得 解得 ，又 ， ，故所求曲线方程为: 【变式 1】已知 中， ， 的周长为 6，求顶点 的轨迹方程
15、.【答案】因此点 的轨迹方程是： ( ).【变式 2】 已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。【答案】 故所求轨迹方程为 。类型三：相关点代入法3已知点 P(4，0)和圆 x2+y24x 10=0 上一个动点 R，动点 Q 满足：点R 是线段 PQ 的中点，求点 Q 的轨迹方程.解析：设 Q(x,y)，R(x 1,y1)，则因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,代入方程 x2+y24x10=0, 得整理得：x 2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.【变式 1】求经过定点 M（1 ，2），以 y 轴为准线，离心率为 的椭圆左顶点的轨迹方程.【答案】设椭圆左顶点 A(x,y),左焦点 F(x,y),则 ， ，又 ，代入上式得 为所求.【变式 2】 P 是椭圆 上的动点, 作 PDy 轴, D 为垂足, 则 PD 中点的轨迹方程为( ).A B C D【答案】D；解析：设 PD 中点为 M(x, y),则 P 点坐标为(2x, y),代入方程 , 即得 .【变式 3】 已知椭圆 上的动点 A 和左焦点 F,求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程.【答案】由题意知点 F(-4,0),设 A(x1, y1),线段 AF 的中点 M(x, y),则， ，且 ，整理得故点 M 的轨迹方程： .【变式 4】 已知抛物线 C：y 2=4x.
