1、共线向量的三个命题及应用广东省中山一中高中部 许少华命题 1：若两非零向量 共线，则有且只有一个实数 ，使 ；命题 2：若两向量 满足 （ 为非零实数），则向量 共线；命题 3：若向量 不共线，且 ，则 ；命题 1、2 的正确性是显然的，对于命题 3 可用反证法，再借助于命题 2 很快予以证明，本文例说上述三命题在解题中的应用1.证三点共线例 1 已知两非零向量 不共线，如果 ， ，求证： 三点共线。证明：由得向量 共线，又 有公共起点故 三点共线。点评：欲证 三点共线，由于 有公共起点，因而只需证 共线即可；也就是证明存在非零实数 ，使 ；2.证几何题例 2 已知 是 的三条高， 于 ， 于
2、 ，求证：证明： ， ， 设，那么又 ， ，即 与 相似，于是得因此， ， 即点评：将平几问题转化为向量问题，欲证 ，只需证 即可；3.求向量例 3 在 中， 分别是 的中点， 与 交于 ，设 ，用 表示向量解：由于 三点共线，得，同理得又由于 得即 得，那么点评：用已知向量表示未知向量，往往有一定的难度。面对图形中错综复杂的线条，要善于抓关键、抓重点，有时还要借助于参数；本题借助于参数且两次利用三点共线，再结合向量的线性表示结论；4.解探索性题例 4 若 是两个不共线且起点相同的非零向量，问是否存在实数 ，使三向量的终点在同一直线上？若存在，请求出实数 ；若不存在，请说明理由；解：若存在，则必存在实数 使即由于 不共线，得故存在实数 ，使 三向量的终点在同一直线上。点评：先假设结论存在，然后进行推理，出现矛盾，说明不存在，否则结论存在是求解探索性问题的常规思路；本题先假定三终点共线，产生“ ”，再结合 不共线产生 的值，从而肯定结论存在。
