1、1,2,第二讲,微积分概揽、发展简史实数理论,3,微积分概观,微积分研究对象：函数（ 主要是连续函数, 特别是初等函数 ）微积分基础： 极限论（Calculus without limits is like Romeo without Juliet ）,4,微积分概观,关于函数的微积分: 主要研究连续函数, 特别是初等函数,5,微积分研究的对象,微积分是研究变量之间的关系(即函数)的科学。例如，函数曲线的切线，曲线下的面积，函数的极值等。按自变量的多少分为一元微积分和多元微积分。研究的函数主要为连续函数，特别是初等函数。,6,微积分,微分学积分学,7,微分学,导数、微分的概念(求瞬时速度、切线
2、问题)导数的计算导数的应用,8,积分学,不定积分定积分,9,不定积分,不定积分以及原函数的概念、性质（微分的逆运算）不定积分的计算基本积分公式换元积分法分部积分法,10,定积分,定积分的概念、性质（求面积，力做的功等）定积分的应用定积分的扩展：非正常积分定积分的计算定义微积分基本定理（微分与积分的桥梁，参下页）基本积分公式换元积分法分部积分法,11,微积分基本定理（Newton-Leibniz定理）,或,12,微积分基础： 极限论,Calculus without limits is like Romeo without Juliet 诸多基本概念如导数定积分连续函数都赖于极限概念,13,微积
3、分概观,微积分研究对象：函数（ 主要是连续函数, 特别是初等函数 ）微积分基础： 极限论（Calculus without limits is like Romeo without Juliet ）,14,学习关键,理解基本概念极限连续函数导数与微分不定积分与定积分掌握基本计算极限求导数求积分了解基本应用导数，微分定积分,15,微积分发展史,从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。,16,阿基米德（Archimedes，古希腊, 287BC-212BC）,和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家 在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积
4、和旋转双曲体的体积的问题中，隐含着近代积分学的思想。“穷竭术”,17,穷竭术求弓形面积,18,不可分量法,穷竭术太依赖于特殊的几何曲线改善为不可分量法（伽利略，开普勒，伽利略的学生卡瓦列里（表现最系统）,19,20,21,思考题,求 抛物线 y=x2 和 直线 y=0, x=1 所围区域的面积。,22,中国古代朴素的极限思想（例一）,庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。,23,中国古代朴素的极限思想（例二）,刘徽（公元263年）撰九章算术注割圆术 ：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 得到 的近似值3.14,24,古代对
5、圆周率的经验值,圆周率是指圆周长与直径的比，Pi经验值：3 （“周三径一，方五斜七”）,25,最早计算圆周率的科学家,阿基米德第一个科学地考察了这个常数，给出了将 Pi 计算到任何精确度的方法给出估值： 3.14271 约率 22/7 3.1429 密率 221/71 3.1126,26,圆周率的计算中国的骄傲,祖冲之(429-500, 南北朝时期)3.1415926 3.1415927 约率：22/7 3.142871密率：355/113 3.1415929,27,割圆术求 值,用圆的内接多边形逼近圆用圆的外切多边形逼近圆设圆的半径为1，则,内接多边形周长圆周长2 外切多边形周长,从而： 内
6、接多边形周长的一半 外切多边形周长的一半,28,由正三边形来近似，可得估值2.59808 5.19615 使用正六边形可得估值：3.00000 自然数描述左右，高低负数由上述得到 整数整体的部分分数（有理数）开方运算（正方形的对角线）无理数由上述得 实数(负数开方复数),47,有理数与实数的差别,有理数具有的性质对、 封闭有序稠密性实数有理数所具有的性质对开方运算封闭具有连续性,48,第一次数学危机,有理数本质上只可用于刻画离散的对象，而几何图形如线段等等本质上却是连续的。,49,实数理论的建立,直到19世纪六七十年代，实数理论才比较完备。例如，戴德金(Dedekind,1813-1916德国
7、)用有理数德分割作为实数的定义。,50,实数域构造的成功，使直线上的点与数一一对应，从而填平了算术与几何之间的鸿沟使古希腊人的算术连续统的设想终于在严格的意义下得以实现给新生的微积分学奠定了巩固的基础，使分析数学步入新的发展阶段。,51,为科学而疯的人康托尔,康托尔 （Cantor ，1845 1918）集合论创始人集合论是现代数学中重要的基础理论,52,无穷之旅关于无穷大的文化史【以色列】马奥尔,53,为科学而疯的人康托尔,过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世
8、。 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”,54,康托尔的理论略识,整数和偶数一样多 有理数可数，实数不可数（含或不含端点的）有限线段与无穷直线的点能够一一对应 一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应（参: 希尔伯特旅馆）,55,56,第三次数学危机,1903年，罗素出版了数学的原理一书书中提到著名的罗素悖论,罗素（1872-1970）,57,罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？ 数学基础产生了裂纹，震动了整个数学界,58,第三次数学危机的消除,1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。,59,Conclusion,微积分概揽概念，计算技能，应用方法微分分发展简史古代的极限思想微积分的草创微积分基础不牢固引发的数学危机微积分基础的奠定极限论，实数理论,60,微积分发展的启示,数学的学习也需要不畏艰难，坚持之后就是成功。这是一门值得学习的学科： 柯朗：“这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”,
