1、 1 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学 三 试题 一、选择题 :1 8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分 .下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的 . (1) 若函数 1 c o s ,0(),0x xfx axbx 在 0x 处连续，则 ( ) (A) 12ab (B) 12ab (C) 0ab (D) 2ab (2) 二元函数 (3 )z xy x y 的极值点是 ( ) (A)（ 0， 0） (B) （ 0， 3） (C) （ 3， 0） (D) （ 1， 1） (3) 设函数 ()fx可导，且 ( ) ( ) 0f x f x ， 则 ( ) (A) (
2、1) ( 1)ff (B) (1) ( 1)ff (C) (1) ( 1)ff (D) (1) ( 1)ff (4)若续数211sin ln (1 )n knn 收敛，则 k =( ) (A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2 (5) 设 为 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 ( ) (A) E 不可逆 (B) E 不可逆 (C) 2E 不可逆 (D) 2E 不可逆 (6)已知矩阵2000 2 10 0 1A,2 1 00 2 00 0 1B,1000 2 00 0 2C,则 ( ) (A) A 与 C 相似 , B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似 ,B 与 C
3、不 相似 (C) A 与 C 不相似 , B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似 ,B 与 C 不 相似 (7)设 A ， B ， C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立， B 与 C 相互独立，则 AB与 C 相互独立 的充分必要条件是 （ ） (A)A 与 B 相互独立 （ B） A 与 B 互不相容 （ C） AB 与 C 相互独立 （ D） AB 与 C 互不相容 2 (8)设 1, 2,. ( 2)nX X X n 为来自总体 ( ,1)N 的简单随机样本，记11 n iixxn 则下列结论正确的是 （ ） (A) 21 ()nii x 服从 2x 分布 (B) 212(
4、 )nxx 服从 2x 分布 (C) 21 ()nii xX 服从 2x 分布 (D) 2()nX 服 从 2x 分布 二、填空题 ： 9 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 . (9) 3 2 2( s in )x x dx _.(10)差分方程 1 22tttyy 通解为 ty = (11) 设生产某产品的平均成本 ( ) 1 qC q e ，其中产量为 q ，则边际成本为 (12)设函数 ( , )f xy 具有一阶连续偏导数，且 ( , ) (1 )yyd f x y y e d x x y e d y ， (0,0) 0f ，则( , )f xy = (13)设矩阵 1 0
5、 11 1 20 1 1A, 1 、 2 、 3 为线性无关的 3 维列向量组。则向量组 1A 、 2A 、 3A的秩为 (14)设随机变量 X 的概率分布为 12 2PX ， 1P X a， 3P X b，若 0EX ,则 DX= 三、解答题 ： 15 23小题 ,共 94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (15)(本题满分 10 分 ) 求+030limx txx te dtx (16)(本题满分 10 分 ) 计算积 分 32 4 2(1 )D y dx dyxy，其中 D 是第一象限中以曲线 yx 与 x 轴为边界的无界区域 . 3 (17)(本题满分 10 分 )
6、求21lim (1 )nn kkklnn (18)(本题满分 10 分 ) 已知方程 11ln(1 ) kxx在区间（ 0,1）内有实根，确定常数 k 的取值范围 . (19)(本题满分 10 分 ) 设 0 1a ， 1 0a ，111 ( ) ( 1 2 31n n na n a a nn 、 、 ）， ()xS 为幂级数0nnn ax的和函数 (I)证幂0nnn ax的收敛半径不小于 1. (II)证 (1 ) ( ) ( ) 0 ( 1 , 1 )X S x x S x x ，并求 ()Sx 表达式 . (20)(本题满分 11 分 ) 设 3 阶矩阵 1 2 3,A 有 3 个不同的
7、特征值，且 3 1 22 . (I)证明 ( ) 2rA ； (II)若 1 2 3 ，求方程组 Ax 的通解 . (21)(本题满分 11 分 ) 设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3, , 2 2 8 2f x x x x x a x x x x x x x 在正交变换 x Qy 下的标准形为 221 1 2 2yy ， 求 a 的值及一个正交矩阵 Q . (22)(本题满分 11 分 ) 设随机变来那个为 X ， Y 相互独立，且 X 的概率分布为 10 2 ,2P X P X Y 的概率密度为 2 , 0 10,yyfy 其 他(I)求 ()PY EY ; (II)求 Z X Y的概率密度 . (23)(本题满分 11 分 ) 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是4 已知的，设 n 次测量结果 1 2, ., nX X X 相互独立且均服从正态分布 2,N .该工程师记录的是n 次测量的绝对误差 1, 2 ,iiZ X i n ，利用 12,nZ Z Z 估计 . (I)求 1Z 的概率密度； (II)利用一阶矩求 的矩估计量； (III)求 的最大似然估计量 .
