1、用数量积解题易错点分析平面向量的数量积是高中数学的重要概念之一.在学习这一内容时，受实数运算性质的影响，容易产生思维定势，如果进行简单的类比，则会产生知识上的负迁移.下面剖析几例加以说明.1 忽视向量夹角的范围致错例 1 若两向量 满足 ， ， 的夹角为 ，若向量 与12，e1e212e602t127e向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围1et2 t错解：设向量 与向量 的夹角为 ，由 为钝角，知 ，故t127e1et2cos0（ ） （ ） ，解得2t127ett(7)t12et2157t分析：本题忘了排除 ，即排除两向量反向时 的值cos1t正解：由上面可知， ，再设向量 与向量 反向，
2、则 2t72t2t127e1et21e（ ） （ ） ，27ek1t2e0k从而 解得 即当 时，两向量夹角为 t，14.tk42t的取值范围是 t14172，2 乱用实数的运算性质致错例 2 已知平行四边形 中， ，求 的度数ABCD24BAD AB错解：设 ， ，则 ， ，ababa由 ，2ACBD222424()()() b4D故 ， 0ab90分析：一般来说，对于向量 ， ，事实上，mn22()()n，而上述解答两次运用了等式 222()cos()mn 22()()mn正解： 2ACBD222()()abab 222()()4()ababa4224()abab4ABD，则 ，22()2
3、1cosDAB2ab故 为 或 4513例 3 已知 都是非零向量，且向量 与 垂直， 与 垂直，ab3ab754ab72求 与 的夹角a错解：由题意可得 ， (3)75)0， (4)72)0ba将，式展开并相减，得 ， 2463ab因 ，故 ， 01b将 代入，得 ，则 ，设 与 夹角为 ，2a2ab，21cosb，故 08 60分析：上面解法从表面上看结果是正确的，但认真分析就会发现，上面解法中有一个原则性的错误，即由得出前式的两端均为实数，而后式的两端均为向量，我们并没有学过向量除法，即使 ，也不能随便约去，这是实数运算与向量运算的重要区别之一b0正解：由上面解法，有 ， ，2463ab
4、2a将 代入或均可得： ，则 2a b设 与 的夹角为 ，则 b1cos2ab，故 018 603 忽略共线向量致错例 4 已知同一平面上三向量 ，两两向量所成的角皆相等且abc，求 的值26abc，236错解：易知 皆为非零向量，设 两两所成的角都为 ，则 ，ab， abc， 360故 ，120cos1203同理， ， 9bc6a由 ，223643(6182)89abcabca8c分析：上述解法只考虑到了一种情况，还应考虑当向量 共线同向时，两两向量abc，所成角都为 ，同样符合题意，此时 0 23623649abc4 混淆向量平行与线段（直接）平行致错例 5 已知点 求证： (1)0(1)，ABCDABCD错证： ，又 ，1()10， ABCD 分析：此题错误的原因是混淆了向量的平行和线段（直线）的平行平行向量是方向相同或相反的向量所以， 四点共线时， 与 仍为平行向量，但此时线段ABCD， ABCD与 不平行，因为线段（直线）的平行不包括重合的情况，所以此题的正确证法，应ABCD在原证法基础上添加：又 ， ，而 (1)(1)，(1)0与 不平行AB三点不共线 C， ABCD
