1、用空间向量解决立体几何的空间角问题一、异面直线所成的角设两异面直线 所成的角为 分别是 的方向向量，注意到异面直线所成角的ab，ab，范围是 ，则有 09，cos，例 1 已知正方形 和矩形 所在平面互相垂直， 试在线段ABCDEF21ABF，上确定一点 ，使得 与 所成的角是 P60解：如图 1，建立空间直角坐标系 ，则 xyz(20)(21)CDF，设 ，得 (0)2)tt， (21)PFt，又 和 所成的角是 ，PF CD6022()cos601t解得 或 （舍去） ，即点 是 的中点t3t PAC评议：采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理这里运用向量法，没
2、有了这些手续，显得便当快捷二、直线和平面所成的角如图 2，点 在平面 外， 为 内一点，斜线 和平面 所成的角为 ， 为 的一PMMPn个法向量，注意到斜线和平面所太角的范围是 ，则有(09)，结合向量的夹角公式便可求 2，n例 2 在正三棱柱 中，已知 在棱 上，1ABC1ABD，1B且 ，若 与平面 所成的角为 ，则 （ ）1BD 3410arcsin46arcsin4解：取 中点 ，连结 ，则 ，如图 3，建立空间直角坐ACEBEAC标系 ，则 ，则 Bxyz310(1)2D， 12，平面 平面 ， ， ABC1BEAC平面 E为平面 的一个法向量302B， 1A6cos4ADE，选（）
3、 ini2B，评议：利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得简洁明了三、二面角如图 4， 分别在二面角 的两个面内且垂直于棱， 分别是 的一OAB l，mn，个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小：（1） 等于二面角的平面角；，（2） 与二面角的平面角相等或互补mn例 3 如图 5，在三棱锥 中， 是边长为 4 的正SABC三角形，平面 平面 ， ， 分别为23SMN的中点，求二面角 的大小ABS， N解：取 中点 ，连结 COB，且 AS又 平面 平面 ， AB平面 ， O CSO如图 5 所示，建立空间直角坐标系 xyz则 ， ，(20)(30)(2)(02)ABS， (130)(2)(30)MNCM，设 为平面 的一个法向量，则1MNxyz，nC302CMxyNz，n取 ，则 1z6则 (2)，n又 为平面 的一个法向量，0OSABC1cos3nS，二面角 的大小为 NCMB1arcos3评议：利用向量法求空间角的大小，经常用到平面的法向量求法向量的方法主要有两种：1、求平面的垂线的方向向量；2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求
