1、第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 总计得 分全卷共七题,总分为 140 分一、 (15 分)今年 3 月我国北方地区遭遇了近 10 年来最严重的沙尘暴天气现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景: 为竖直向上的风速,沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中(不动) 这时v风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度 竖直向下运动时所受的阻力此阻力可用v下式表达 2fA其中 为一系数, 为沙尘颗粒的截面积, 为空气密度A(1)若沙粒的密度 , 沙尘颗粒为球形,半径 ,地球33S2.810kgm 42.510mr表面处空气密度 , ,试估算在地面附近,上述 的最小值 v0.5 .45
2、(2)假定空气密度 随高度 的变化关系为 ,其中 为 处的空气密度,h0(1)Ch0h为一常量, ,试估算当 时扬沙的最大高度 (不考虑重力C411.80m 9.msv加速度随高度的变化)二、 (20 分)图预 19-2 所示电路中,电池的电动势为 ,两个电容器的电容皆为 C,K 为一E单刀双掷开关。开始时两电容器均不带电(1)第一种情况,现将 K 与 接通,达到稳a定,此过程中电池内阻消耗的电能等于_;再将 K 与 断开而与 接通,此b过程中电池供给的电能等于_。(2)第二种情况,现将 K 与 接通,达到稳定,此过程中电池内阻消耗的电能等于_;再将 K 与 断开而与 a接通,此b过程中电池供
3、给的电能等于_。三、 (20 分)据新华社报道,为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空,2002 年 3 月 25日 22 时 15 分,我国成功地发射了一艘无人试验飞船。在完成预定任务后,飞船于 4 月 1 日16 时 51 分安全着陆,共绕地球飞行 108 圈。(1)飞船的名称是什么?(2)飞船在运行期间,按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作,包括从椭圆轨道变换成圆轨道等假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理,试粗略估计飞船离地面的平均高度已知地球半径 ,地球表面处的重力加速6.3710mR2002 年 9 月度 29.80msg四、 (20 分)如图预 1
4、9-4 所示,三个绝热的、容积相同的球状容器 A、B、C ,用带有阀门 K1、K 2 的绝热细管连通,相邻两球球心的高度差 初始时,阀门是关闭的,A 中装有 1mol1.0mh的氦(He),B 中装有 1mol 的氪(Kr),C 中装有 lmol 的氙(Xe) ,三者的温度和压强都相同气体均可视为理想气体现打开阀门K1、K 2,三种气体相互混合,最终每一种气体在整个容器中均匀分布,三个容器中气体的温度相同求气体温度的改变量已知三种气体的摩尔质量分别为 31He4.0kgmolKr8.131Xe.0kgol在体积不变时,这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K,所吸收的热量均为 , 为普适气体常量
5、/2R五、 (20 分)图预 19-5 中,三棱镜的顶角 为 60,在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相同的30.cmf凸透镜 L1 和 L2若在 L1 的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源4.y,已知其像 与 对该光学SS系统是左右对称的试求该三棱镜的折射率六、 (20 分)一个长为 ,宽为 ,质量为 的矩形导电线1L2m框,由质量均匀分布的刚性杆构成,静止放置在不导电的水平桌面上,可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴 ab 转动,在此边中串接一能输出可变电流的电流源(图中未画出) 。线框处在匀强磁场中,磁场的磁感应强度 沿水平方向且与转B轴垂直,俯视图如图预 19-6 所示。现
6、让电流从零逐渐增大,当电流大于某一最小值 时,线框将改变静止状态。minI(1)求电流值 。i(2)当线框改变静止状态后,设该电流源具有始终保持恒定电流值 不变( )的功能。已知在线框运动过程中存在空气阻力。试分析线框的运0I0minI动状况。七、 (25 分)如图预 19-7 所示,在长为 m、质量为 的车厢 B 内的右0.1lB30.kg壁处,放一质量 的小物块 A(可视为质点) ,向右的水平拉力 作用A20.kgm 12.0NF于车厢,使之从静止开始运动,测得车厢 B 在最初 2.0 s 内移动的距离 ,且在这段5.ms时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞假定车厢与地面间的摩擦忽略不计,小物
7、块与车厢壁之间的碰撞是弹性的求车厢开始运动后 4.0 s 时,车厢与小物块的速度第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 1 页第十九届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答、评分标准一、参考解答(1)在地面附近,沙尘扬起要能悬浮在空中,则空气阻力至少应与重力平衡,即201Avmg式中 为沙尘颗粒的质量,而m2r3s4得 10grv代入数据得114.msv(2)用 、 分别表示 时扬沙到达的最高处的空气密度和高度,则有h9.0h(1)C此时式应为2Avmg由、可解得20s413rhCv代入数据得36.81m评分标准:本题 15 分。1. 第一小题 8 分。其中式 3 分,式 1 分,式 1 分
8、,式 2 分,式 1 分。2. 第二小题 7 分。其中式 1 分,式 1 分,式 3 分,式 2 分。二、参考解答(1) ,0 (2) ,2CE214CE2评分标准:本题 20 分。(1)10 分。其中每个空 5 分。 (2)10 分。其中每个空 5 分。三、参考解答(1)神舟 3 号(2)设飞船飞行时间为 ,绕地球飞行的圈数为 ,周期为 ,飞船的质量为 ,离地面t NTm的平均高度为 ,地球半径为 ,地球质量为 ,则有hRM第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 2 页tTN22()()mMGRhTRhg由、式解得1/324RthN由题给数据可知 ,代入 及其它有关数据得5.8360s
9、tt2.91mh评分标准:本题 20 分(1)4 分(2)16 分。其中、式各 3 分,式 4 分(答案在 之52.710m53.10间均给这 4 分)四、参考解答根据题设的条件,可知:开始时 A 中氦气的质量 ,B 中氪气的质3He4.01kgm量 ,C 中氙气的质量 。三种气体均匀混合后,A 中3Kr8.10kgm 3Xe1.kg的 He 有 降入 B 中,有 降入 C 中。He 的重力势能增量为ol1molHeeHeHe()(2)33EghghmgB 中的 Kr 有 升入 A 中,有 降入 C 中。Kr 的重力势能增量为1ol31olKrrKr()03mghC 中的 Xe 有 升入 A
10、中,有 升入 B 中。Xe 的重力势能增量为1ol31olXeeXee23Eghmgh混合后,三种气体的重力势能共增加PHeKreHe()E因球与外界绝热,也没有外力对气体做功,故重力势能的增加必然引起内能的减少。在体积不变时,气体不做功。由热力学第一定律可知,此时传给气体的热量应等于气体内能的增量,但因理想气体的内能只由温度决定,与体积无关,故只要温度改变量相同,则体积不变条件下内能的增量也就是任何过程中理想气体内能的增量。根据题给的已知条件,注意到第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 3 页本题中所考察的理想气体共有 3 摩尔,故有P2ERT上式中右方为气体内能减少量, 表示气体温
11、度的增量,由、两式得XeH()9mghT将已知数据代入,注意到 ,可得18.3JKolR 2.0即混合后气体温度降低 3.1(如果学生没记住 的数值, 的值可用标准状态的压强 ,温度R 5201.3Nmp和 1mol 理想气体在标准状态下的体积 求得,即 )0273.1KT 2.4V 0pVRT评分标准:本题共 20 分。说明经扩散使三种气体均匀混合,并导致气体重力势能改变求得式,得 8 分。说明能量转换过程,由重力势能增加而内能减少,列出式,得 8 分。得出正确结果,算出式,得 4分。五、参考解答由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴
12、平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对称S1L性可知12ir由几何关系得 1260ri由图可见第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 4 页1ir又从 的边角关系得1FSOtan/yf代入数值得rct(14.3/0)25.49由、与式得 ,1.i根据折射定律,求得1sin.65r评分标准:本题 20 分1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。2. 、式各给 2 分,式给 3 分,式给 1 分,式给 4 分。六、参考解答(1)解法一:导体线框放在水平桌面上,俯视图如图预解 19-6-1。由图可见,在线框没动之前,线框的
13、 边与 边平行于磁PQ场 ,因而不受磁场力。 边受的安培力的大小为 ,B 1IBL方向垂直于桌面向下,但此力对轴的力矩为零。 边受的安培力的大小为 ,方向垂直桌面向上。此力对固1QFIBL定轴的力矩为012MI除此力矩外,线框还受到重力矩作用。重力力矩等于重力乘线框重心( 点)到轴 ab 的距O离,即02(/)mgL当 时,桌面对线框的支持力的力矩为零, 时,线框将改变静止状态,开始0M绕轴 ab 向上翘起。根据题意及、式,由力矩平衡原理可知122minIBLg解得in12I第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 5 页解法二:线框所受的重力矩也可以由各边对 ab 轴的重力矩来求。 边与
14、 边的重心均在(PQ)处,两条边对 ab 轴的合力矩为2/L21()mgL 边对 ab 轴的力矩为Q122()gL 故线框所受的重力矩为0122/)mg (与解法一求得的式一致,从而求得 与式相同。inI(2)线框处于静止状态时,若电流 比 稍大,线框所受的电磁力矩 将大于重力矩 ,0mi M使线框绕 ab 轴向上翘起。 边和 边所受电磁力不等于零,但二者相互抵消。当保持PQ电流值 恒定不变时,线框将从静止状态开始绕固定轴作加速转动。在加速转动过程中,由0I于通过线框的磁通量发生变化,线框内将产生感应电动势,它有使线框中的电流变小的趋势,题中已设电流源有保持电流恒定不变的功能,所以当线框平面转
15、至与桌面成 角时,如图预解 19-6-2a 所示,线框受到的合力矩为012cosMIBLmg随着 角逐渐增大,合力矩随之减小,但 始终大于零,因而线框仍作逆时针加速转动,M角速度不断增大。当线框平面转到竖直面 时,合力矩为零,角速度达到最大。由于惯性,N线框将越过 面作逆时针转到。此时,合力矩与线框转动方向相反,角速度将逐渐减小,N合力矩的大小随着 角的增大而增大,如图预解 19-6-2b 所示。第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 6 页如果没有空气阻力, 将增至 180。当 角等于 180 时,线框转动的角速度为零,合力矩将使线框作顺时针加速转动,结果线框将在 角等于 0与 180
16、之间往复摆动不止。实际上,由于空气阻力作用,线框平面在 平面两侧摆动的幅度将逐渐变小,最终静止在 面处,N N此时,电磁力矩与重力矩均为零。如果线框稍偏离平衡位置 ,电磁力矩与重力矩的合力N矩将使线框回到 平面处。故线框处于稳定平衡状态。评分标准:本题 20 分。第一问 6 分、第二问 14 分。第一问中,、式各 2 分。第二问中,正确地分析了线框往复转动,给 4 分;说明最后平衡在竖直面处,给 6 分;说明稳定平衡,给 4 分。七、参考解答解法一:1. 讨论自 B 开始运动到 时间内 B 与 A 的运动。02.sT根据题意,在 2 s 内,A 未与 B 发生过碰撞,因此不论 A 与 B 之间
17、是否有相对运动,不论 A 与 B 之间是否有摩擦,B 总是作初速为零的匀加速直线运动。设 B 的加速度为 ,有B1a2B10saT得(1)2B120.5mss如果 A、B 之间无摩擦,则在 B 向右移动 1 米距离的过程中,A 应保持静止状态,接着 B 的车厢左壁必与 A 发生碰撞,这不合题意。如果 A、B 之间无相对运动(即两者之间的摩擦力足以使 A 与 B 有一样的加速度) ,则 B 的加速度 2.4msFa这与(1)式矛盾。由此可见,A 、B 之间既有相对运动又存在摩擦力作用。以 表示 A、 B 间的滑动摩擦力的大小,作用于 B 的摩擦力向左,作用于 A 的摩擦力fF向右,则有(2)1f
18、ma(3)AfF由(1) 、 (2) 、 (3)式得(4)21.5sa(5)f4NF2. 讨论 B 的左壁与 A 发生第一次碰撞前的运动。由于 ,B 向右的速度将大于 A 的速度,故 A 与 B 的左壁间的距离将减小。设1a第十九届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 第 7 页自静止开始,经过时间 ,B 的左壁刚要与 A 发生碰撞,这时,B 向右运动的路程与 A 向右1t运动的路程之差正好等于 ,即有l221A1attl解得(6)1BA1lta代入数据,得12s=.83tA 与 B 发生第一次碰撞时,碰前的速度分别为(7)A1A1B12lvata(8)B111lt3. 讨论 B 与 A 间的弹性
19、碰撞以 和 分别表示第一次碰撞后 A 和 B 的速度。当 、 为正时,分别表示它们1u A1uB向右运动。在碰撞的极短时间内,外力 的冲量可忽略不计,因此有FBA11mvum2222BA1vu解以上两式得(9)A1B1B1()()ula(9)式表示,在弹性碰撞中,碰撞前后两者的相对速度的大小不变,但方向反转。4. 讨论从第一次碰撞到车厢与小物块速度变至相同过程中的运动。由(9)式可以看出,经第一次碰撞,A 和 B 都向右运动,但 A 的速度 大于 B 的速1u度 ,这时作用于 A 的摩擦力向左,作用于 B 的摩擦力向右,大小仍都为 。设此过程中B1u fFA 向左的加速度和 B 向右的加速度分别为 和 ,则由牛顿第二定律有A2aA2fFmaBf解得(10)2fA2.5sFam