1、1,第4章 数值积分与数值微分,2,4.1 引言,4.1.1 数值求积的基本思想,依据微积分基本定理，对于积分,只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：,但对于下列情形：,3,（1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数；,（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用.,因此有必要研究积分的数值计算问题.,由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立,4,就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求,曲边梯形的面积 (图4-1).,图4-1,5,问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以,准确算
2、出 的值.,将 称为区间 上的平均高度.,这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便,获得一种数值求积方法.,用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度,的近似值，这样导出的求积公式,（1.1）,是梯形公式(几何意义参看图4-2).,6,图4-2,用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式),（1.2）,7,一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ，,然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，,（1.3）,式中 称为求积节点；,权 仅仅与节点 的选取有关，,的具体形式.,这样构造出的求积公式具有下列形式：,称为求积系数，,亦称伴随节点,的权.,而不依
3、赖于被积函数,8,这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难.,9,4.1.2 代数精度的概念,定义1,如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式,均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，,则称该求积公式具有 次代数精度.,梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.,数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.,10,欲使求积公式(1.3)具有 次代数精度，则只要令它,对 都准确成立，就得到,（1.4）,11,如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等距分点作为节
4、点，这时取 ，求解方程组(1.4)即可确定求积系数 ，而使求积公式(1.3)至少具有 次代数精度.,构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题.,12,4.1.3 插值型的求积公式,设给定一组节点,且已知函数 在这些节点上的值，,作插值函数 .,取,作为积分 的近似值，,（1.5）,这样构造出的求积公式,13,称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出,（1.6）,由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式(1.5)，其余项,式中与变量 有关，,（1.7）,14,当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是,函数本身，,余项 为零，,至少具有
5、 次代数精度.,反之，如果求积公式(1.5)至少具有 次代数精度，则,事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数 应准确,它必定是插值型的.,成立，即有,所以这时插值型求积公式,15,定理1,形如(1.5)的求积公式至少有 次代数精度的,注意到,上式右端实际上即等于 ，,因而式(1.6),成立.,这样，有,充分必要条件是，它是插值型的.,16,4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性,定义2,其中,在求积公式(1.3)中，由于计算 可能产生误差 ，,实际得到将是 ，,即,在求积公式(1.3)中，若,则称求积公式(1.3)是收敛的.,记,17,如果对任给小正数,只要误差 充分小就有,（1.8）,则表明
6、求积公式(1.3)计算是稳定的，,由此给出:,定义3,就有(1.8)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.,对任给,若,只要,18,定理2,证明,取,若求积公式(1.3)中系数,则此求积公式是稳定的.,对任给,都有,若对,则当 时有,19,由定义3 ，知求积公式(1.3)是稳定的.,20,4.2 牛顿-柯特斯公式,4.2.1 柯特斯系数,设将积分区间 划分为 等分，,选取等距节点 构造出的插值型求积公式,（2.1）,称为牛顿-柯特斯公式，,式中 称为柯特斯系数.,按(1.6)式，引进变换,步长,则利用等距节点的,插值公式，有,21,（2.2）,当 时，,这时的求积公式就是梯形公式(1.1),2
7、2,当 时，按(2.2)式，,相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式,（2.3）,柯特斯系数为,23,的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，,（2.4）,这里,按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.,其形式是,24,25,从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，,特别地，假定,于是有,且,则有,26,它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.,27,4.2.2 偶阶求积公式的代数精度, 由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度.,先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.,用 进行检验，,本
8、节讨论代数精度的进一步提高问题.,按辛普森公式计算得,28,均能准确成立，,另一方面，直接求积得,这时有 ，,而它对 通常是不准确的，,辛普森公式实际上具有三次代数精度.,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式,因此，,定理3,当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少,有 次代数精度.,29,证明,我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯,公式对 的余项为零.,由于这里,引进变换 并注意到 有,按余项公式(1.7),有,30,因为被积函数,若 为偶数，则 为整数，,为奇函数，所以,再令,进一步有,31,4.2.3 几种低阶求积公式的余项,按余项公式(1.7)，梯形公式(1.1)的余项,这里
9、积分的核函数 在区间 上保号(非正)，,应用积分中值定理，在 内存在一点 使,（2.5）,32,为研究辛普森公式(2.3)的余项 构造次数,不超过3的多项式 满足,（2.6）,其中,辛普森公式具有三次代数精度，对于这样构造出的三次式 应是准确的，即,33,对于多项式 ，其插值余项由第2章(5.11)得,由插值条件(2.6)，上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3)求得的积分值 ，,因此积分余项,故有,34,这时积分的核函数 在 上保号,类似的，对于柯特斯公式(2.4)，结果如下：,（2.8）,(非正)，再用积分中值定理有,（2.7）,35,4.3 复化求积公式,复化求积的基本思想是把积分区间分
10、成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度.,4.3.1 复化梯形公式,将区间 划分为 等分，,在每个子区间 上,分点,采用梯形公式(1.1)，则得,36,（3.1）,记,称为复化梯形公式.,（3.2）,37,由(2.5) ，其余项,由于 , 且,所以 使,于是复化梯形公式余项为,38,（3.3）,误差是 阶，,且当 时有,即复化梯形公式是收敛的.,将 改写为,39,此外， 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.,只要 则当 时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分 所以复化梯形公式(3.2)收敛.,40,4.3.2 复化辛普森求积公式,将区间 分为
11、等分，,在每个子区间 上,若记,记,（3.5）,采用辛普森公式(2.3)，,则得,（3.4）,41,称为复化辛普森求积公式.,由(2.7)，其余项,于是当 时，,（3.6）,误差阶为 ，显然是收敛的.,与复化梯形公式相似有,42,实际上，只要,则可得到收敛性，,即,此外，由于 中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定.,43,例1,对于函数 ，,给出 的函数表,并估计误差.,解,将积分区间 划分为8等分，,(见表4-2)，,计算积分,应用复化梯形法求得,试用复化梯形公式(3.2)及复化辛普森公式(3.5),44,而如果将 分为4等分，应用复化辛普森法有,以上得到的两个结果 与 ，都需要提
12、供9个点上的,同积分的准确值 比较，,接下来看误差估计 ，由于,所以有,函数值，,计算量基本相同，然而精度却差别很大.,只有两位有效数字.,复化梯形法的结果,45,于是,由(3.3)得复化梯形公式误差,46,对复化辛普森公式，由(3.6)得,47,4.4 龙贝格求积公式,4.4.1 梯形法的递推化,复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半.,设将区间 分为 等分，共有 个分点，,如果将求积区间再二分一次，则分点增至 个，,我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察.,48,用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为,每个子区间 经过二分只增加了一个分点,这里 代表二分前的步长
13、.,将每个子区间上的积分值相加得,49,例2,解,先对整个区间 使用梯形公式.,从而利用式(3.2)可导出下列递推公式,（4.1）,计算积分值,对于函数,定义它在 的值,而,由梯形公式,50,将区间二等分，求出中点的函数值,利用递推公式(4.1)，有,进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值,再利用式(4.1)，有,51,这样不断二分下去，计算结果见下表.,它表明用复化梯形公式计算积分 要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量很大.,52,4.4.2 龙贝格算法,梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量.,根据复化梯形公式的余项表达式(3.
14、3),假定,则有,53,移项整理，得,（4.2）,由此可见，只有二分前后的两个积分值 与 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小.,这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法.,按式(4.2)，积分近似值 的误差大致等于,若用这个误差值作为 的一种补偿，可以期望所得到的,54,可能是更好的结果.,直接验证知，按公式(4.3)组合得到的近似值恰为 ,即,（4.4）,也就是说，利用梯形法二分前后的两个积分值 与 ,按式(4.3)做线性组合，结果得到辛普森法的积分值,（4.3）,55,再考察辛普森法，按误差公式(3.6)，其截断误差大致,与 成正比，,由此得到,因此，若将步长折半则
15、误差将减至原有误差,的1/16，即有,不难直接验证，上式右端的值等于 , 为复化柯特斯公式，,它的精度为,56,就是说，用辛普森法二分前后两个积分值 与 ，,可得到 的近似误差估计为,并且按上式做线性组合可得复化柯特斯的积分值 ，,（4.5）,重复同样的手续，依据柯特斯法的误差阶为 ，,（4.6）,即有,可进一步导出下列龙贝格(Romberg)公式：,57,在变步长的过程中运用公式(4.4)，(4.5)和(4.6)，,就能将粗糙的梯形值 逐步加工成精度较高的辛普森值,柯特斯值 和龙贝格值 . ,例3,计算结果见下表( 代表二分次数)：,用加速公式(4.4)，(4.5)和(4.6)加工例2得到的
16、,梯形值，,58,可以看到，这里利用二分3次的数据(它们的精度都很差，,只有两三位有效数字)，通过三次加速求得,这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速的效果是十分显著的.,59,4.4.3 理查森外推加速法,由梯形公式出发，将区间 逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，设,若记,当区间 分为 等分时，,梯形公式余项可展成级数形式，即,并且有,则有,60,定理4,设 则有,（4.7）,其中系数 与 无关.,定理4表明 是 阶，,代替 ，有,（4.8）,若用4乘(4.8)式，减去(4.7)式再除3记之为,在(4.7)中，若用,则得,61,这里 以及后面将出现的 均为与 无关的
17、系数，,这样构造的 与积分值 近似的阶为 .,（4.9）,比较(4.9)与(4.4)可知，这样构造的序列,就是辛普森公式序列,又根据(4.9)，有,62,若令,则又可进一步从余项展开式中消去 项，而有,这样构造出的 ，其实就是柯特斯公式序列.,它与积分值 的逼近阶为,如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶.,63,一般地，若记 则有,（4.10）,经过 次加速后，,（4.11）,上述处理方法通常称为理查森外推加速方法.,设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示,序列 的 次加速值，则依递推公式(4.10)可得,余项便取下列形式：,64,计算过程：, (1) 取,令,( 记区间 的二
18、分次数).,(2) 求梯形值,即按递推公式(4.1)计算,(3) 求加速值，按公式(4.12)逐个求出T表(见表4-5)的第 行其余各元素,公式(4.12)也称为龙贝格求积算法.,（4.12）,求,65,(4) 若 (预先给定的精度)，则终止计算，,否则令 转(2)继续计算.,并取,66,可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即,对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，,只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算.,67,例4,解,在 上仅是一次连续可微，,用龙贝格算法计算积分,用龙贝格算法计算结果见表4-6.,68,从表中看到用龙贝格算到 的精度与辛普森求积精度相当. 这里 的精确值为,
