1、第二届(2010 年) 全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案（非数学类）(150 分钟)解：（1） =22(1)(1nnxaa 22(1)(1)/(nxaa= = =2()/)na 2/n12limli()(/(nnx(2) 22211ln()ln()liiimxxexxxee令 x=1/t,则原式= 21(ln1)1/()2()22000imlilit t tt t teee（3）0001121()()|!sxnnsxnsxsxnnsnnnIddedseIII（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。答案好像是 4二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()fx,)且存在一点
2、，使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx证明：方程 在 恰有两个实根。()f(,)解：（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为 f(x)有小于 0 的值，所以只需在两边找两大于 0 的值。将 f(x)二阶泰勒展开 2()()()ffxfx因为二阶倒数大于 0，所以，lim()xfli()xf证明完成。三、 （15 分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二()yfx2(1)xty()t阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。t213tuedt t解：（这儿少了一个条件 ）由 与 在 出相切得2yx()yt213tued1t，3(1)2e()e/dy
3、txt=。 。 。2 3()2(/)(/)()dxyxdtt上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、 （15 分）设 证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；1n（2）当 且 时，级数 发散。()ns1naS解：（1） 0, 单调递增nas当 收敛时， ，而 收敛，所以 收敛；1n1nas1nanas当 发散时，1nalimns11nnssnadx所以， 11121nnssnaadxsx而 ，收敛于 k。1111limnsnsaasdx所以， 收敛。1ns（2） lin所以 发散，所以存在 ，使得1na1k12kna于是，1111222kknnnkss依此类推，可得存在 2.使得 成
4、立12iiknas所以 1Nkn当 时，所以 发散1nas五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均匀椭球l(,)221)，其中（ 密度为 1）绕 旋转。221xyzabc0,cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)解：（1）椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离2222()(1)()2dxyzxyzx0yVzdxV22 22 31 4(1)15c cxyzabczzdabdabc 由轮换对称性， 232344,1515xdVabcydVabc22323234()()(1)5I abc2224115abcbc（2） 当 时，2max
5、4()5Ic当 时，1inb六、(15 分) 设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲线()x C积分 的值为常数。42cxydA（1）设 为正向闭曲线 证明L2()1,xy42()0;cxydA（2）求函数 ；()（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。C42()cxyd解：（1） L 不绕原点，在 L 上取两点 A，B，将 L 分为两段 ， ，再从 A，B 作一曲线12L，使之包围原点。3则有 13 23424242()()()LLLxydxydxydA（2） 令 4242(),PQxyxy由（1）知 ，代入可得042352()()4xyxxy上式将两边看做 y 的多项式，整理得24325()()()yxxyx由此可得 ()435()2xx解得：（3） 取 为 ，方向为顺时针L424xy0QP 424242()()()1ccLLLxydxydxyd AAA（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）
