1、洋泾中学高三物理第二轮复习专题讲座 1第 14 讲 极值一、利用图像及制约关系求极值利用图像求极值主要是利用函数图、矢量图求极值。利用函数图像求极值时，可利用图像的交点、斜率、截距和与坐标轴所包围的面积等的物理意义，进行分析、推理和计算。对速度、力、位移等矢量，还可根据平行四边形法则或三角形法则作出矢量图，简便求取极值。另外，很多物理量都有一定的条件要求，利用这点也可求极值。例 1 A、B 两汽车站相距 s=60km，从 A 站每隔 t=10min 开出一辆汽车，行驶速度为v=60km/h。如果在 A 站正有汽车开出时，从 B 站有辆汽车以同样大小的速率开往 A 站。为了在途中遇到从 A 站开
2、出的车最多，B 站的车至少应在 A 站第一辆车开出后多久出发？途中最多能遇到几辆车？例 2 物体从 A 点由静止出发沿直线运动到 B 停下，且 A、B 的间距为 s，在这段时间内，物体可以作匀速运动也可以作加速度为 a 的匀变速运动，为了使物体从 A 运动到 B 的时间最短，试分析：物体应怎样运动？最短时间是多少？最大速度又是多少？例 3 在“互成角度的两个力的合成”实验中，用 A、B 两弹簧秤拉橡皮条的端点，使它伸长到 O 点，如图所示。现保持 O 点位置和角 的大小不变，当角 由图示位置逐渐增大时，讨论弹簧秤 A、B 示数的变化情况。(图示 +900)例 4 一条河的宽度为 L=300m，
3、水的流速为 u=50m/s，并在下游形成瀑布。一艘船从距瀑布 S=400m 的上游渡河。为了不致被冲进瀑布中，试分析船头应沿什么方向？船对水的最小速度是多少？这种情况下的过河时间为多长？例 5 一个质点自倾角为 的斜面上方定点 A，沿光滑斜槽从静止开始下滑。为了使质点在最短时间内到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角 应等于多少？洋泾中学高三物理第二轮复习专题讲座 2例 6 如图所示，重为 G1=600N 的人，站在重 G2=400N 的平台上用手竖直向下拉住绳子保持平衡，则此时人对平台的压力为_N，若增加平台重力而仍保持平衡，则平台的最大重力为_N 。例 7 如图所示，长为 l=100cm，导热性
4、能良好的细玻璃管竖直放置，管内有一段高为h=4cm 的水银封闭了 l0=96cm 长的空气柱，水银柱刚好与管口齐平，现向管口再缓慢加入水银，最多能加入水银的高度是多少？设大气压强 P0=76cmHg。二、利用数学方法求极值1.利用 y=ax2+bx+c 的性质。2.利用判别式。3.利用三角函数(包括 y=asin和 y=asin+bcos)。4.利用定积求和与定和求积原理。例 8 一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶，则所盖屋顶的顶角 2应为(设雨滴沿屋顶下淌时，可看作在光滑的斜坡上下滑)：A、60 0 B、90 0 C、120 0 D、150 0例 9 如图所示，每单位
5、长重为 G0 的均匀杆 AB，支点在 A 端，B 端用绳子悬挂，使杆水平。在离支点 l0 处挂一重为 G 的砝码。问绳子张力的最小值是多大?例 10 如图所示，摩托车作腾跃特技表演，以 v0=10m/s 初速度冲上顶部水平的高台，然后从高台飞出。试分析：当台高 h 多大时，飞出的水平距离最远?且最大值是多少?(不计一切摩擦，取 g=10m/s2)例 11 如图所示，圆柱形容器竖直放置，上方粗管 A 的横截面积是下方细管 B 的横截面积的 4 倍，中间灌有水银，水银下方细管中密封一段空气柱，水银上有一活塞(活塞自重及活塞与容器壁间的摩擦均不计)，已知大气压强p0=75cmHg，静止时，粗管 A
6、内水银高度 hA=5cm，细管 B 内水银柱高度 hB=10cm，现用一竖直向上的拉力 F 拉活塞，在活塞慢慢上移的过程中拉力 F 先变大后变小，当活塞被提高 h/=2cm 时拉力 F 又变为零，求：(1)原来水银下方细管中密封的空气柱长度 L。(2)当活塞约上移多少后水银对活塞的压强最小？l l0h洋泾中学高三物理第二轮复习专题讲座 3例 12 如图所示，光滑水平面右端 B 处连接一个竖直的半径为 R 的光滑半圆轨道，在离距离为 x 的 A 点，用水平恒力将质量为 m 的质点从静止开始推到 B 处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到 C 处后又正好落回 A 点，求：(1)推力对小球所做的功(用
7、x、R、m 、g 表示)；(2)x 取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少?(3)x 取何值时，完成上述运动用力最小?最小力为多少?例 13 如图所示，铜棒质量为 0.1kg，静卧于相距 8cm 的水平轨道上，二者间的动摩擦因数为 0.5，现从一轨道载送 5A 电流至另一轨道，欲使铜棒滑动，两轨道间所加的匀强磁场的磁感强度的最小值为多少？三、利用物理方法求极值利用物理方法求极值，经常用到下列典型的极值条件：1.速度为 0单向减速运动的位移达最大值。2.加速度为 0速度有极值。3.合力矩为 0角速度有极值。4.力矩一定，力臂最大时力最小。5.弹力 N=0，两物即将分离。6.竖直平面圆周
8、运动的最高点速度有要求等等。例 14 在 X 射线管中，电子经过 2.0104V 电压加速后打在靶子上，当电子受阻后能量减少就会释放出 X 射线，则此 X 射线的最短波长为_m。例 15（多选）如图，水平放置的固定圆盘 A，带电为 Q，电势为零，从盘心 O 处释放一质量为 m、带电为+q 的小球，由于电场力的作用，小球最高可上升到竖直高度为 h 的 C 点，且过 B 点时速度最大，由此可求出 Q 形成的电场中( )A、B 点的场强 B、C 点的场强C、B 点的电势 D、C 点的电势例 16 如图，两根足够长的平行光滑导轨，竖直放置在匀强磁场中，磁场方向跟导轨所在平面垂直，金属棒两端套在导轨上且
9、可自由滑动，电源电动势 =3V，内阻跟金属棒的电阻相等，其余部分电阻不计。当 K2 断开、K 1 接通时，棒恰静止不动，现断开 K1，同时接通 K2，金属棒在运动过程中产生的最大感应电动势为多少?当金属棒的运动加速度为 g/2 时，棒切割磁感线产生的感应电动势为多少?洋泾中学高三物理第二轮复习专题讲座 4例 17 拖拉机前后轮的轮距为 L，重心 O 的高度是 h，重心到前轮的距离是 l。试分析：(1)为了使拖拉机上坡时不致向后翻倒，斜坡的最大倾角应满足什么条件？(2)为了使拖拉机下坡时不致向前翻倒，斜坡的最大倾角又应满足什么条件？例 18 如图所示，水平放置的光滑平行长导轨宽为 l，置于磁感应
10、强度为 B，方向竖直向下的匀强磁场中，电阻不计。导体 ab 和 cd 的质量均为 m，总电阻为 R，开始静止在导轨上。若以水平向右的恒力 F 拉动导体 ab，试计算：(1)导体 ab 杆加速度的最小值和 cd 杆加速度的最大值；(2)两导体杆速度差值的稳定值。例 19 物体 A 以初速 v 做竖直上抛运动，经过 时间后，在同一地点有另一物体 B 以初速u(uv)做竖直上抛运动，欲使 A 与 B 最早相遇，问 应为多少？如果要使 B 尽快与 A 相遇，又为多少？三、利用边界条件求极值物理问题中各物理量许多都有条件的限制，据此可求极值。有时也可把物理量推向极端求得极值。另外，很多习题都可以由多种方
11、法求得极值。例 20 如图所示，电源内阻不可忽略，R 1=10，R 2=8 当开关 S 接 1 时，理想电流表示数为 0.2A，当开关 S 接 2 时，电流表示数取值可能在什么范围内_。例 21 火车以速率 v1 向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车头为 s 处有另一列火车，正沿相同方向以较小速率 v2 作匀速运动，于是司机立即关闭发动机使火车作匀减速运动，为使两车不相碰，那么后面列车至少应以多大加速度减速?例 22 倾角 =300 的传送带以恒定的速率 v=2m/s 运动，皮带始终是绷紧的，皮带上、下两端间的距离 s=5m。现将一工件无初速放在皮带下端，经过 t=2.9s 时间可到达上端；若增加皮带的速率，求皮带速率多大时，工件从皮带下端送到上端的时间最短？最短时间是多少？(g=10m/s 2)例 23 如图所示，半径为 r、质量不计的圆盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴 O，在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A，在 O 点正下方离 O 点 r/2 处固定一个质量也为 m 的小球 B，放开盘让其自由转动。问：(1)在转动过程中小球 A 向能够达到的最大速度是多少？(2)至少给圆盘多大的角速度才能在竖直平使圆盘面内作完整的圆周运动？
