1、第二章 圆锥曲线与方程 单元测试A 组题（共 100 分）一选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上，那么 （ ）（A）曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0（B）凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上（C ）在曲线 C 上的点的坐标不一定都适合 F(x,y）=0（D）不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y）=0，有些不合适 F(x,y）=02到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）（A）x y= 0 （B）x + y=0 （C）|x
2、|=|y | （D）y=|x|3已知椭圆方程为 ，焦点在 x 轴上，则其焦距等于 （ x28 + y2m2= 1）（A）2 （B）2 （C）2 （D） 28m2 m284已知椭圆 195yx上的一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，O 为原点，则|ON| 等于 （ ）（A）2 （B） 4 （C） 8 （D） 235已知 F 是椭圆 12byax(ab0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PFx 轴, OPAB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )（A） 2 （B） 4（C ） 1 (D) 23二填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。6椭圆 52
3、kyx的一个焦点是 ),0(，那么 k 7 椭圆的焦点在 y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 14, 短轴长为 8, 则椭圆的标准方程是 .8已知点（0, 1)在椭圆 内，则 m 的取值范围是 .x25 + y2m = 19椭圆 的准线平行于 x 轴, 则 m 的取值范围是 .x23m + 1 + y22m = 1o P三解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 直线 xym= 0 与椭圆 有且仅有一个公共点，求 m 的值.x29 + y2 = 111已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O 是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的
4、长轴长为 6, 且 cosOFA= , 求椭圆的方程.2312若一个动点 P(x, y)到两个定点 A(1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值 m（m0 ）,分别根据 m 的值，求点 P 的轨迹方程 .(1)m4 ；(2) m2 ；(3) m1.B 组题（共 100 分）四选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。13命题 A：两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B：曲线 F(x,y)+g(x,y)=0(为常数）过点 P(x0,y0)，则命题 A 是命题 B 的 （ ）（A）充分
5、不必要条件 （B）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D）既不充分也不必要条件14到两定点 A（0，0） ，B（3 ，4）距离之和为 5 的点的轨迹方程是 （ ）（A）3x4y =0, 且 x0 （B）4x 3y=0, 且 0y 4（C ）4 y3x=0,且 0x3 （D ）3y4 x=0,且 y015椭圆 的焦距为 2,则 m 的值等于 （ ）x2m + y24 = 1（A）5 或 3 （B）8 （C）5 （D） 1616已知 F1、F 2 为椭圆 (ab0) 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB, 若x2a2 + y2b2 = 1AF1B 的周长为 16,椭圆的离心率 e= , 则椭圆的
6、方程为 （ ）（A） （B） （C） （D）x24 + y23 = 1 x216 + y23 = 1 x216 + y212 = 1 x216 + y24 = 117若椭圆 的离心率为 , 则 m 的值等于 （ ）x216 + y2m = 1 13（A）18 或 （B）18 或 （C）16 或 （D）16 或1249 1289 1249 1289五填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。18方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是 .x224k + y216 + k = 119椭圆 1 上有一点 P 到一条准线的距离是 ，F 1、F 2 是椭圆的两个焦点，则x225 y29 52
7、PF1F2 的面积等于 .20已知 P 是椭圆 上一点，以点 P 以及焦点 F1、F 2 为顶点的三角形的面积等x225 + y29 = 1于 8, 则点 P 的横坐标是 。21已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆左顶点为 A，上顶点为 B，左焦点 F1 到直线 AB的距离为 7|OB|，则椭圆的离心率等于 .六解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22已知ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是( 5, 0)、(5, 0)，边 AC、BC 所在直线的斜率之积为 ，求顶点 C 的轨迹方程.1223在直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限、半径
8、为 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O，椭圆219xya与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段OF 的长，若存在求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。24. 已知椭圆 1625yx,P 为该椭圆上一点.(1)若 P 到左焦点的距离为 3,求到右准线的距离；(2)如果 F1 为左焦点 ,F2 为右焦点 ,并且 121PF,求 12tanPF的值.C 组题（共 50 分）七选择或填空题：本大题共 2 题，每题 5 分。25若实数 x，y 满足 xy4，则
9、x2 + y2 有 （ ）（A）最小值 31，无最大值 （B）最小值 31，最大值 16（C ）最小值 0，无最大值 （D ）最小值 0，最大值 1626已知 (0, ), 方程 x2sin + y2cos=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的取值范围 2是 .八解答题：本大题共 2 小题，每题 20 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27已知椭圆 21xyab（a b0）的离心率 36e，过点 A（0，-b）和 B（a ，0）的直线与原点的距离为 2 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点 E（-1 ，0） ，若直线 ykx2（k0 ）与椭圆交于 C D 两点 问：是否存在 k 的
10、值，使以 CD 为直径的圆过 E 点? 请说明理由 28已知直线 l: 6x5y28=0 交椭圆21(0)xyab于 M , N 两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且 b 为整数,而 MBN 的重心恰为椭圆的右焦点 F2.(1)求此椭圆的方程 ;(2)设此椭圆的左焦点为 F1,问在椭圆上是否存在一点 P,使得 0126P?并证明你的结论.参考答案A 组一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A二、617答： . 由14acb解得 a5，又椭圆焦点在 y 轴上，椭圆方程为x216 + y225 = 1.x216 + y225 = 18答：1, 5)(5,+).9答：m1. 椭圆的准线
11、平行于 x 轴，椭圆的焦点在 y 轴上，2310,解得 m1.三、10 . 解：将直线方程代入椭圆方程，消去 x 得到 10y2+2my+m29=0,令0，解得 m .1011解：依题意 cosOFA= ，又 2a6 , a 3，c=2 ，b 25.23 ca当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 ；x29 + y25 = 1当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 . x25 + y29 = 112解：设 P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,即 22(1)(1)xxy.(1)当 m 4 时，由22()()4y化简得点 P 的轨迹方程是：2143x.(2)当 m 2 时，由 22()(1)xy
12、xy化简得点 P 的轨迹方程是：y=0， （1x 1)(3)m1 时，22()(1)yy无解，点 P 的轨迹不存在 .B 组13. A 14.B 15.A 16.D 17.B18答：( 16, 4)(4, 24). 由24016kk (16, 4)(4, 24).19答：3 . e ，|PF 1| e2，|PF 2|8，|F 1F2|8，PF 1 边上的高 h=745 52281,PF 1F2 面积等于 |PF1|h3 .12 720答：x= . 设 P(x,y)，由 8|y|=8,得|y|4，x .535 12 53521答：e . F1(c, 0)到直线 AB：bx ayab 0 的距离为
13、 27abc，12e ，8e 214e 5 0，解得 e .ca 1222分析 因为直线 AC、BC 的斜率存在，所以可分别用点 C、A 的坐标和点 C、B 的坐标，表示直线 AC、 BC 的斜率，再根据条件：斜率之积为 ，即可得到动点 C 的轨迹方程.12解 设 C(x, y), 则5ACBCkk （x 5）由 11,22AByA得所以动点 C 的轨迹方程为(x5）x225 + y2252= 123解：（1）圆 C： 22)8y；（2）由条件可知 a=5，椭圆 159，F （4，0 ） ，若存在，则 F 在 OQ 的中垂线上，又 O、Q 在圆 C 上，所以 O、Q 关于直线 CF 对称；直线
14、 CF 的方程为 y1= 1()3x,即 340y，设 Q（x,y ） ，则3402yx，解得4512xy所以存在，Q 的坐标为 412(,)5。24.解 :(1)由方程知,a =5,b=4,则 c=3,e = 3.P 到左焦点的距离为 3,则 P 到左准线的距离为 51ePFd,又两准线间距离为 3502c,P 到右准线的距离为 30.(2)由椭圆定义得 121aF;又 21PF,由, 联立可解得 29,1PF;在 21中, 621cF, 9os2121 PF, 21P为锐角, 635sin, 635tan9F.C 组25选 D. 26. 答： ( , ). 椭圆方程化为2211sinxyc
15、o,椭圆焦点在 y 轴上， 4 210sinco i, 又 (0, ),( , ). 2 4 227解：（1）直线 AB 方程为： bx-ay-ab0 依题意 2362bac，解得 13ba， 椭圆方程为 yx （2）假若存在这样的 k 值，由 032yxk，得 )1(2k09x 0)31(6)(22 设 1(xC， )y 2(xD， )y，则 22139kx，而 4)()( 21212121 xkk 要使以 CD 为直径的圆过点 E（-1，0 ） ，当且仅当 CEDE 时，则 121xy，即 )(1221xy 12()50kkx 将式代入整理解得 67 经验证， 67k，使成立 综上可知，存
16、在 k，使得以 CD 为直径的圆过点 E 28解 (1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 22212,bayxbayxb,两式相减得2112()65bxyay,由 1220,033xbc,得 x1+x2=3c, y1+y2=b,代入得 2b25bc+2c 2=02b=c 或 b=2c; M 、N 在直线 L 上,得 6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 ;由解得(b 为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,因此椭圆方程为: 602yx.（2 ）证明: 2116cosrFP1224831()5rr, 0126,使 的点 P 不存在 .说明：第 23 题为 2007 年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.
