1、客服热线：025-68801918、68801919 - 1 - 学科王教育资源网第四节 运用等价转换思想解题的策略等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在 0.37.考试要求： （1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；（2）了解等价转换思想在解题中的作用；（3）掌握等价转换的主要途径、方法；（ 4）掌
2、握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决数学难题.学科王题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换例 1.（1）求 22sin0cos83sin20co8的值;（2）求函数 1yxx的最大值.点拨: （1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；（2）将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出 y最大值.解：（1）注意到所求式与余弦定理类似，由22222cosinsiinsincoscabCABAC原式= 2 21sin0i101co504o.（2）构造向量 2(,)si,s),bx则 |ab，由 |ab知，2|sin1co|yxa，学科王 m
3、a，当且仅当 与 共线且方向相同时，即 2sics1,2xxxkZ时等号取得.变式与引申 1：已知 ,abmR，且 ab，求证： amb.题型二 函数、方程及不等式解题中的等价转换客服热线：025-68801918、68801919 - 2 - 学科王教育资源网例 2.（1）若 a、 b是正数，且满足 3ab，求 ab的取值范围.(2)已知奇函数 ()fx的定义域为实数集 R，且 ()fx在 0,)上是增函数，当02时，是否存在这样的实数 m，使 cos2(42cos)(0fmf对所有的 ,均成立？若存在，求出所有适合条件的实数 ；若不存在，请说明理由.点拨:(1)将一个等式转换为不等式，是求
4、变量取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.(2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题，由函数的单调性、奇偶性得出关于 和 m的不等式，既然需求 m的取值，不防把此问题转换为 m关于 的函数和不等式的问题.解：(1)方法一（看成函数的值域） 3ab， 31ab，而 0b， 301a，即 1a或 3，又 0，学科王1，即 ， 23(1)5()44(1)59aab a ，当且仅当 4， 3时等号取得.方法二（看成不等式的解集） ,ab为正数， 2ab，又 3ab，23，即 ()0，解得 ab或1（舍去） ，9ab（2）由 ()fx是 R上
5、的奇函数可得 (0)f，再利用 ()fx的单调性，则可把原不等式转换成为关于 的三角不等式， f是 R上的奇函数，又在0,)上是增函数，故 ()fx是 上为增函数.(cos2342cos(0)fmf客服热线：025-68801918、68801919 - 3 - 学科王教育资源网(cos23)(cos4)ffm学科王x是 R上的增函数， 23cos4m即2coss20令 t， ,， ,1t.于是问题转换为对一切的 ，不等式 220tm恒成立，2()tmt，即2t恒成立.又2()42ttt42存在实数满足题设的条件， 2.易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；（2）由已知不等式，
6、结合函数的单调性、奇偶性找不到 和 m的不等式；错误理解自变量只为 x，不能把问题转换为 和 m的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来研究 m的取值，并且容易把问题看成是 t关于 的不等式问题，从而用根的分布来解决此问题，较为繁琐，容易出错.变式与引申 2：已知函数 .2)(4axxf（I）求证：方程 1有实根；（II） xfxh)(在0，1上是单调递减的，求实数 a 的取值范围；（III）当 1|)(|,0 xf的 不 等 式关 于时 的解集为空集，求所有满足条件的实数a 的值.题型三 引入相关参数进行等价转换例 3.设 ,xyR，且 236xyx，求 2y的范围.点拨:本题的解法有
7、多种，数形结合，三角换元都是比较容易想到的方法，我们也可以引入相关参数进行等价转换解：由 2630xy得 2x，客服热线：025-68801918、68801919 - 4 - 学科王教育资源网设 2kxy，则 22kx，代入已知等式得： 260xk，即 13，其对称轴为 3，由 0，则得 ,4，所以 2xy的范围是 204xy.易错点：忽视参数 k的取值范围，将解得范围扩大；变式与引申 3：设两个向量 2(,cos)a和 (,sin),2mb其中 ,为实数.若 2,ab则 m的取值范围是 ( )A.6,1 B.4,8 C.(,1 D.1,6题型四 正向与反向思考中的等价转换例 4 .试求常数
8、 m的范围，使曲线 2yx的所有弦都不能被直线 (3)ymx垂直平分.点拨：在解答问题时，正难则反是转换的一种有效手段，问题的反面是存在一条弦能被直线 (3)yx垂直平分，解出问题反面 m的范围，则原问题就出来了 .解：假设抛物线上两点 221(,),x关于直线 (3)yx对称，显然 0，于是有 2112()()3xmx，21xm21260，因为存在 1R使上式恒成立，()81)，即 2m因为 60恒成立，所以 210m，所以 12，即当 12时，抛物线上存在两点关于直线 (3)yx对称，所以当 m时，曲线 2yx的所有弦都不能被直线 ()m垂直平分.易错点:不能从问题的反面作为切入点，对于垂
9、直平分认识不够深刻，找不出关于 m的方程和不等式.变式与引申 4：已知三个方程： 230,xa 22(1)0,xa客服热线：025-68801918、68801919 - 5 - 学科王教育资源网20xa中至少有一个方程没有实数解，试求实数 a的取值范围本节主要考查：（1）等价转换思想在解题中的应用，几种常见的等价转换思路；（2）数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.点评：等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转换，把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题，不断培养和训练自觉
10、的转换意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，等价转换要求转换过程中前因后果是充分必要的，才保证转换后的结果仍为原问题的结果，等价转换思想方法的特点是具有灵活性和多样性，在应用等价转换的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转换，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形，消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现等价转换思想，更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转换，可以说，等价转换是将恒等变形在代数式方面
11、的形变上升到保持命题的真假不变，由于其多样性和灵活性，要合理地设计好转换的途径和方法，避免死搬硬套题型，在数学操作中实施等价转换时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题，通过转换变成比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转换为比较直观的问题，以便精确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者正面难，则从反面进行转换，即反证法，按照这些原则进行数学操作，转换过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转换思想，可以提高解题的水平和能力.习题 8-41.函数 3
12、()fxb在 0,1内有极小值，则 b的取值范围是( ).A.0,2 B. C.0,1 D.0,22.（2011 山东文科 6） 若函数 ()sinfx ( 0)在区间 ,3上单调递增，在区间客服热线：025-68801918、68801919 - 6 - 学科王教育资源网,32上单调递减，则 =A. B. 32 C. 2 D.33. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产 n个月的累计产量为 1()()1fnn吨，但如果月产量超过 96 吨，将会给环境造成危害.（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但
13、需要每月交纳 a万元的环保税，已知每吨产品售价 0.6万元，第 n个月的工人工资为 28()15gnn万元，若每月都赢利，求出 a的范围.4.设 ,AB是双曲线21yx上的两点，点 N(,2)是线段 AB的中点.（1）求直线 的方程；（2）如果线段 的垂直平分线与双曲线相交于 C、 D两点，那么 、 、 C、 D四点是否共圆？5. 已知函数 22()1ln().fxx（1）求函数 的单调区间；（2）当 ,xe时，不等式 ()fxm恒成立，求实数 的取值范围；（3）若关于 的方程 2()fxa在区间 0,2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.第四节 运用等价转换思想解题的策略变式与引申
14、1:（1）方法一：要证 ()()ambambba成立， 成立方法二：设 (,),)ABm，其中 0，客服热线：025-68801918、68801919 - 7 - 学科王教育资源网因为 0ab，则直线 OA的斜率 1tanOAkb，直线 AB的斜率 2tn1ABmk，因为 B在第三象限的角平分线上，所以 必与 x轴正半轴相交，且有 1204，所以 21tant，即ab.方法三：在 RtABC和 tDF中， ,ABaCbDm作 /E交 于 E，因为 与 相似，所以amabFb.变式与引申 2：.解：（I）要证 0124x的实根，也就是证明方程 012at有非负实数根。而 .,02122 tat
15、a的 两 根 为故 可 设 学科王0.12212 ttt 方 程一 正 一 负有正根， 1)(xf方 程 有实根；（II）由题设知对任意的 041)(1,0 3axfxhx时 恒成立，0x时显然成立； .,43,)1( ,1,04)4(,4,2 max22的 取 值 范 围 为 上 单 调 递 增在而对 任 意 的agxaxa（3）由题设知，当 1|4|,103axx时 恒成立 ),3)(124)(,0;,)(23 axaxFax 而故 不 满 足 条 件则若记FEDCB A客服热线：025-68801918、68801919 - 8 - 学科王教育资源网当 1,3,3,0)(,3013 aa
16、xFa在上 递 减在时即 上递增，于是 4,8mx)1(,m|)(|ax F ，解之得： .43当 84)1(|)(|,1,0)(,1 max aFxFa于 是上 递 减在时即与题意矛盾。综上所述： .43方法二（分离参数法） 141,|4| 33 axax所 以 ，0x时显然成立；对任意的 xxx1,22由（II）知 ,43)(43maa.变式与引申 3：选 A解：由 2(,cos)a(,sin),2bm2,ab可得 2cos2sinm，设 km,代入方程组可得 22cossinm ；消去 m化简得2cosikk，即 242()sin0k,再令 12kt,代入上式得2sin1(68)t,可得
17、 20,4t；解不等式得 1,t,因而 128k解得 61k,故选 A.客服热线：025-68801918、68801919 - 9 - 学科王教育资源网变式与引申 4：解：三个方程中至少有一个方程没有实数解的否定是三个方程都有实数解 2123 312610()480aa a或或当 ,a时，三个方程中至少有一个方程没有实数解客服热线：025-68801918、68801919 - 10 - 学科王教育资源网习题 8-41.B. 提示：转化为 2()3fxb在 (0,1)内与 x轴有两交点，只需 (0)f且(1)0f.2.【答案】B（2）若每月都赢利，则 23()()0,65nagnNn恒成立. 即 21(),1,46,5an恒成立，令 1232()(2)5h hh时 最 小 ， 且所以 0.4.解：（1）设 AB： (1)2ykx代入21yx整理得 2() 0kx 设 1,y、 2,为方程的两根所以 ()0k且 12()kx，由 N为 AB的中点，
