1、菱形本周目标: 掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。重点: 本周教学的重点是菱形的性质及判定难点： 区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。知识要点：1、 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。2、菱形的性质： 性质 1 菱形的四条边相等。性质 2 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。已知：菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O（如图 1）求证：ACBD，AC 平分BAD 和BCD，BD 平分ABC 和ADC。证明：四边形 ABCD 是菱形ABAD（
2、菱形的四条边相等）在等腰ABD 中，BOOD，ACBD，AC 平分BAD。同理：AC 平分BCD；BD 平分ABC 和ADC。图 13、菱形面积计算方法： (1) S底高(2) S 对角线 1对角线 2 ab例 已知菱形 ABCD 的边长为 2cm ，BAD120，对角线 AC、BD 相交于点 O（如下图） ，求这个菱形的对角线长和面积。解：四边形 ABCD 是菱形ACBD，BAO 12060（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在 RtAOB 中，ABO90BAO30AO 21（cm）BO （cm）AO ，BOAC2AO2（cm） ，BD2BO2 （cm）S 菱形 ABCD
3、ACBD2 （cm 2）4、菱形的判定： 判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形。判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。本周典型例题分析： 例 1已知：如图， ABCD 中，AB=2BC，E、F 是直线 BC 上的点，BE=BC=CF，求证：AFED分析：若连结 MN，欲证 DEAF，只要证四边形 AMND 是菱形。证明：连结 MN四边形 ABCD 是平行四边形AD BC，AB DC在ABF 中，BC=CF，ABCNAN=NF又ADBF，DN=NC同理可证：AM=MB又AB=2BCAM DN，四边形 AMND 是平行四边形而 AD=DN，四边形 AMND 是菱形ANMD，即 AFED
4、换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ”这个直角三角形的判定定理 ,如何证？解法 2：如图，延长 BE 至 G，使得 EG=EB，连结 AGAB=2BC，EB=BC=CF在AGF 中，AB=GB=FBGAF=90，即 GAAF四边形 ABCD 是平行四边形AD BC又GE=BC，GE AD四边形 AGED 是平行四边形AGED，AFED想一想，例 1 还有哪些证法？例 2. 已知：如图，RtABC 中，CDAB 于 D，ACB=90，AF 平分BAC，交 CD 于E，FGAB 于 G，求证：四边形 GFCE 是菱形分析：可先证四边形
5、GFCE 是平行四边形，再证它是菱形证明：如图所示，AF 平分BAC，FGAB、FCAC，FG=FC在ABC 中，ACB=90，CDAB，B=ACDCEF=CAF+ACD=BAF+B=EFC在CEF 中，CEF=CFE，CE=CF又CDAB，FGABCE FG四边形 CEGF 是平行四边形又CE=CF四边形 CEGF 是菱形例 3. 已知：如图，四边形 ABCD 中，ADC=90，AC=CB，E、F 分别是 AC、AB 的中点，DEA=ACB=45，BGAE 于 G 点。求证： (1)四边形 AFGD 是菱形；(2)若 AC=BC=10cm，求菱形 AFGD 的面积。证明提示：在 RtABG
6、中，由 F 是斜边 AB 的中点，可得 AF=GF在ABC 中，若连结 EF，由 E、F 分别是 AC、AB 的中点，得 EF BC，而由已知，AC=CB， ，则 DE=EF，由 EFBC，则AEF=ACB=45连结 DF，由 DE=FE，AE 平分DEF，则 AE 垂直平分 DF，从而 AD=AF，GD=GF由 AF=FG=GD=DA，得四边形 AFGD 为菱形(2)解法提示：例 4请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 若 ，探究 与 的位置关系及 的值小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参
7、考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；（2）将图 1 中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明解：（1）线段 与 的位置关系是 ； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长 交 于点 ，连结 是线段 的中点， 由题意可知 ， ， 四边形 是菱形， 由 ，且菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，可得 四边形 是菱形， ， 即 ， ， 例 5. 已知：如图，由菱形 ABCD 的顶点 C
8、作 CF射线 AD 于 F 点，CE射线 AB 于 E 点，试确定 CF 与 CE 的大小关系，并证明你的结论。分析与提示：对于提出的猜想 CF=CE，许多同学采取证明CFDCEB，但是此方法显然不如“连结 AC”这个证法好。解：CF=CE 证明如下，连结 AC四边形 ABCD 是菱形，CAE=CAF又CEAE，CFAF，CF=CE例 6. 已知：如图，E 是菱形 ABCD 边 AD 的中点，EFAC 于 H，交 CB 的延长线于 F 点，交 AB 于 G 点。求证：AB 与 EF 互相平行分于 G 点分析：欲证 AB 与 EF 互相平分于 G 点，连结 AF、EB，只要证四边形 AFBE 是
9、平行四边形，又需证 AE FB，为此，就要考虑 E 是 AD 边中点及 EFAC 的条件如何运用。证明：如图，分别连结 AF、BE 、BD四边形 ABCD 是菱形ADBC ，AC BD又EFAC， EFBDEFBD，EDFB四边形 EFBD 是平行四边形ED FB又AE=ED,AE FB四边形 AFBE 是平行四边形AB、EF 互相平分于 G 点【同步练习】一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等 B.对边相等C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相
10、等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为 100 cm，一条对角线长为 14 cm，它的面积是（ ）A.168 cm2 B.336 cm2 C.672 cm2 D.84 cm24.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 12，此菱形的面积为（ ）A.4 3B.8 3C.10 3D.12 35.下列语句中，错误的是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6.菱形的周长是 8 cm，则菱形的一边长是_.7.菱形的一个内角为 120,平分这个内角的对角线长为 11 厘米
11、，菱形的周长为_.8.菱形的对角线的一半的长分别为 8 cm 和 11 cm，则菱形的面积是_.9.菱形的面积为 24 cm2，一对角线长为 6 cm，则另一对角线长为_，边长为_.10.菱形的面积为 8 3平方厘米，两条对角线的比为 1 3,那么菱形的边长为_.三、解答题11.如图， AD 是 ABC 的角平分线. DE AC 交 AB 于 E， DF AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF是菱形吗？说明你的理由.12.ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、 BC 分别交于 E、 F，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？13.菱形 ABCD 的周长为 20 cm，两条对角线的比为 34，求菱形的面积.14.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O，且 AC=16 cm， BD=12 cm，求菱形ABCD 的高 DH.参考答案一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.D二、6. 2 cm 7. 44 厘米 8. 176 cm 2 9. 8 cm 5 cm 10. 4 cm三、11.四边形 AEDF 是菱形， AE=ED.12.AFCE 是菱形， AOE COF，四边形 AFCE 是平行四边形， EF AC13.24 cm2 14. 9.6 cm
