1、第 1 页 2017 年全国高中数学联赛模拟题 6 一试 考试时间上午 8： 009： 20，共 80 分钟 ， 满分 120 分 一、 填空题（共 8 题，每题 8 分， 64 分） 1、 y= 1135xx 的最大值为 a ，最小值为 b ，则 ab 等于 . 2、 已知实数 ,bc满足 2bc ，且函数 2 44y x x ， 当 b x c 时有最大值 4c ，最小值 b ，则 bc . 3、 已知集合 1 1 0S x x x N ，对它的任一非空子集 A，可以将 A 中的每一个元素 k 都乘以 (1)k 再求和 (例如， A=2,3,8，则可求得和为 (-1)2 2+(-1)3 3
2、+(-1)8 8=7),对 S 的所有非空子集，这些和的总和为 . 4、 已知两个集合 A= ( , ) 3 2x y x m y m m N ， ，B= 2( , ) ( 1 )x y x n y a n n n N ， ，若 A B ，则整数 a 的值为 . 5、 函数 f(x)的定义域为 (0,+ )，并且对任 意正实数 x，都有 2012( ) ( ) 3f x xf xx，则(2)f . 6、 ,abc是正整数，且成等比数列， ba 是一个完全平方数， 6 6 6lo g lo g lo g 6abc ，则 a+b+c= . 7、 已知 2( ) 6 , ( )f x x a x a
3、 y f x 的图像与 x 轴有两个不同的交点 12( ,0),( ,0)xx且1 2 1 23 83( 1 ) ( 1 ) ( 1 6 ) ( 1 6 )a ax x a x a x ， 则 a 的值为 . 8、 设 n 为正整数，记 1 2 n 为 n!(例如 1！ =1， 2！ =1 2， 5！ =1 2 3 4 5)，若存在正整数 2 3 4 5 6, , , ,a a a a a 满足 3 5 624313 6 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 !a a aaa ，这里 0 iai， i=2， 3，4， 5， 6，则 222222 3 4 5 6aaaaa等于 . 二、解答题（共
4、3 题， 共 56 分） 9、 （本题 16 分） 已知点的序列 *),0,( NnxA nn ，其中 21,021 xx， 3A 是线段 21AA 的中点， 4A 是线段 32AA 的中点， nA, 是线段 )3(12 nAA nn 的中点， (1)写出 nx 与21, nn xx 之间的关系式 )3( n ； (2)设 nnn xxa 1 ，求 na 的通项公式。 10、 （本题 20 分） 已知，函数 ( ) | 2 |f x x x a，试求 ()fx在区间 0,1 上的最 大值 ()ga 。 11 、 （本题 20 分） 已知双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )xyC a ba
5、b 的离心率为 2 ，过点(0, )( 0)P m m 斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 ,AB两点，且 3 , 3A P P B O A O B(1)求双曲线方程；（ 2）设 Q 为双曲线 C 右支上动点， F 为双曲线 C 的右焦点，在 x 轴负半轴上是否存在定点 M ，使得 2Q F M Q M F ?若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由。 第 2 页 2017 年全国高中数学联赛模拟 题 6 （二试） 9： 4012： 10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、（本题 40 分） 如图，在锐角三角形 ABC 中， AB=AC，ACB的
6、平分线交 AB 于 D，过 ABC 的外心 O 作 CD 的垂线交 AC 于 E，过点 E 作 AB 的平行线交 CD 于 F.（ 1）求证：C、 E、 O、 F 四点共圆；（ 2）求证： A、 O、 F 三点共线；（ 3）求证： EA=EF（福建 2010 预赛） 2、（本题 40 分） 求最小正整数 n 使得 2 24nn 可被 2010 整除 . 3、（本题 50 分） 设多项式 1 2 2 222n n n na x a x c x c x n b x b 恰有 个正实根，求证它的所有实根相等 。 4、（本题 50 分） 桌上放有 n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴 .甲先取，第一次
7、可取走至多 1n 根火柴，此后每人每次至少取走 1根火柴 .但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2倍 .取得最后一根火柴者获胜 .问：当 100n 时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由 . FEMODNB CA第 3 页 2017 年全国高中数学联赛模拟题 6 参考答案 一试 1.、 首先，由 031 x ，且 051x ，得 3151 x . 2 2 22 8 1 2 4 12 2 ( )1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2 5y x x x . 由于 3115451 ，所以，当 x=415 时， y2取得最大值 415 ，故 a= 15152 当 x=15 或 13 时， y2取得
8、最小值 215 ，故 b= 1530 ，所以， ab= 1522 2、 因为 222 4 4 ( 2 ) , 0 ;444 4 ( 2 ) , 0 .x x x xy x x x x x x 所以， b=0,c2-4c+4=4c，解得 c=4+2 3 ,故 b+c=4+2 3 . 3、 因为 S=2， 3， 9，对于每个 k(k=2,3, ,9)，在总和中出现 27 次，故总和为72 ( 2 3 4 5 6 7 8 9 ) 5 1 2 4、 由题意知，方程组232yxy ax ax a 有整数解 (x， y)， x0.显然 a 0， y0 或 a 91 ，由题意，可设2 12( ) 6 ( )
9、 ( )f x x a x a x x x x 则 12(1 ) (1 ) ( 1 ) 1 7x x f a ， 12( 1 6 ) ( 1 6 ) ( 1 6 ) 1 7a x a x f a a ，所以， 3 8317a aa 解得 a=0.5 或者 a=0(舍 )。故 a= 21 8、 在题设等式的两边乘以 6！， 得 31 20=3 4 5 6a2+4 5 6a3+5 6a4+6a5+a6， 因为 31 20 2(m od 6) ，所以 6 2(mod6)a ，而 0 a66，所以 a6=2. 于是 103=3 4 5 a2+4 5a3+5a4+a5， 所以 5 103 3(m od
10、5)a ， 于是 a5=3 于是 20=3 4a2+4a3+a4， 所以 4 20 0(m od 4)a ， 于是 a4=0 所以 5=3a2+a3 所以 3 5 2(mod 3)a ，于是 a3=2,从而 a2=1 所以 原式 =12+22+02+32+22=18 第 4 页 9、 （） 212nnn xxx （ ）；（） na 1nnxx 12nnxx nx 12nnxx ， 由此可见，数列 na 是公比为 12 的等比数列， na 1 1( 1) 2nn（ N ）。 10、21 2 0() 0aaga aa ,事实上， 0,1x ( ) 0fx 令 22( ) ( ) ( 2 ) , 0
11、 , 1 F x f x x x a x ，借助导数按 110 , 0 ,22a a a 讨论即得。 11、 由已知得 : 223ba ， 双曲线方程可化为 2 2 233x y a 。设直线方程为 y x m 代入 2 2 233x y a 得 2 2 22 2 3 0x m x m a , 2 2 24 4 ( 3 ) 0m m a , 直线一定与双曲线相交 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 221 2 1 2 3, 2max x m x x 123 , 3A P P B x x 22222 3,26m m axx 消去 2x 得， 226ma 2 2
12、21 2 1 2 1 2 1 2O A O B 2 ( ) 3 3x x y y x x m x x m m a 22 2 26 , 1 , 3 , 6 , 13ym a b y x x 直 线 方 程 为 双 曲 线 方 程 为 (2)设 00( , 0), ( , )M n Q x y，由于 (2,0)F ， 220033xy 2Q F M Q M F ta n ta n 2Q F M Q M F 0002002022 1()yy x nyxxn ，将 220033xy代入得 2204 4 3x n n 0 1x ， 2204 4 3 4x n n ， 2 4 1 0nn 得 2 5 2
13、5nn 或 者 （ 舍 去 ） 在 x 轴负半轴上存在定点 M ，使得 2Q F M Q M F 。 2017 年全国高中数学联赛模拟题 6 参考答案 二试 1、 （ 1） 证明：连接 ,OA OC OF ,则 9 0 2O A C O C A B , EF AB 180 2F E C B 又 CD 是 ACB 的平分线， 2BECF 3180 2 BEFM EM DC 39 0 9 02 BM E F E F M 而 3 902 BO C M E C F A O C FEMODNB CA第 5 页 MEF OCF ,即 ,OEC F 四点共圆。 （ 2）过 F 作 FN BC 于交 BC N
14、 ,则 90 2BC FN 由（ 1） 9 0 2O F E O C E B 9 0 9 0 2BO F M O E F O F E CFN OFM ,故共线，由 AB AC ,知 ,AOF 共线。 （ 3） 9 0 2O F E O A E B ， AEF 是等腰三角形。故 AE EF 2、 解： 2010 2 3 5 67 22 0 1 0 | 2 4nn 22222 4 0 m o d 22 4 0 m o d 32 4 0 m o d 52 4 0 m o d 6 7nnnnnnnn 2220 m o d 31 m o d 54 3 m o d 6 7nnnnnn 又 2 0 m o
15、d 3 0n n n 或 2mod3 ， 2 1 m o d 5 2 m o d 5n n n ， 2 4 3 m o d 6 7 1 0n n n 或 56mod67 ， 故所求最小正整数 77n . 3、 证明：设 12, , , nx x x 为多项式的所有正根，由韦达定理有 1 2 11112211211( 1 ) 2( 1 )3nnnni i ii i nnnx x xnbx x xabx x xa （ ）（ ）（ ）2（ ） 变形为 212 121 1 1 ) ( 1 ) nn n nbx x x x x x a （(3) 代入得 2121 1 1n nx x x 结合 (1) 得
16、 212121 1 1( ) ( )nn x x x nx x x jxR ，由柯西不等式 221 2 1 21 2 1 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )nnnnx x x x x x nx x x x x x 当且仅当 12 nx x x 时等号成立。故命题得证。 4、 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为： 1n ， 2n ， 3n ，不难发现其前 4 项分别为 2， 3， 5， 8. 下面我们用数学归纳法证 明： （ 1） in 满足 11i i in n n ； （ 2）当 inn 时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目 1in
17、； 第 6 页 （ 3）当 1iin n n 时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目 in . 设 ik n n （ 4i ），注意到212iiinnn. 当 1 2ink 时，甲第一次时可取 k 根火柴，剩余 2ink 根火柴，乙无法获胜 . 当12i in kn时， 21iin k n ，根据归纳假设，甲可以取到第 k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目 2in ，剩余 22iinn 根火柴，乙无法获胜 . 当 1ikn 时，设甲第一次时取走 m 根火柴，若 mk ，则乙可取走所有剩小的火柴；若 mk ，则根据归纳假设，乙总可以 取到第 k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目 2in ，剩余 22iinn 根火柴，甲无法获胜 . 综上可知， 11i i in n n . 因为 100 不在数列 in ，所以当 100n 时，甲有获胜策略 .
